Реферат: Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

В задачі лінійного програмування нестрогі функціональні нерівності можна перетворити в строгі рівності, прибавивши невідомі невід’ємні додаткові змінні. Звичайно, число невідомих і число рівнянь в системі може бути різним. Але й в цьому випадку для системи рівнянь відомі можливі варіанти: система може бути несумісною, тобто не мати рішень взагалі; рішення може бути одне, але (!) це єдине рішення може виявитися неприпустимим з-за наявності від’ємних компонент в рішенні; рішень може бути нескінченно багато. Взагалі для єдиності рішення задачі лінійного програмування не вимагається рівності числа змінних та числа обмежень. Для задач лінійного програмування розроблені багаточисельні ефективні методи вирішення і відповідне математичне забезпечення для різноманітних ситуацій [8, с.22].

¨ Приклад.

Невелика сімейна фірма виробляє два широкопопулярних безалкогольних напої – “PinkFuzz” та “MintPop”. Фірма може продати всю продукцію, котра буде вироблена, однак обсяг виробництва обмежений кількістю основного інгридієнту та виробничою потужністю обладнання. Для виробництва 1 л “PinkFizz” потрібно 0,02 години роботи обладнання, а для виробництва 1 л “MintPop” – 0,04 години. Витрати спеціального інгридієнту складають 0,01 і 0,04 кг на 1 л “PinkFizz” і “MintPop” відповідно. Щоденно в розпорядженні фірми мається 24 години часу роботи обладнання та 16 кг спеціального інгридієнту. Доход фірми складає 0,10 у.о. за 1 л “PinkFizz” і 0,30 у.о. за 1 л “MintPop”. Скільки продукції кожного виду слід виробляти щоденно, якщо мета фірми – максимізація щоденного доходу?

Рішення.

Крок 1. Визначення змінних. В рамках заданих обмежень фірма повинна прийняти рішення про те, яку кількість кожного виду напоїв слід випускати. Нехай р – число літрів “PinkFizz”, що виробляється за день. Нехай m – число літрів “MintPop”, що виробляється за день.

Крок 2. Визначення цілі та обмежень. Ціль полянає в максимізації щоденного доходу. Нехай Р – щоденний доход, у.о. Він максимізується в рамках обмежень на кількість годин роботи обдаднанняі наявності спеціального інгридієнту.

Крок 3. Виразимо ціль через змінні:

Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день).

Це є цільова функція задачі – кількісне співвідношення, що підлягає оптимізації.

Крок 4. Виразимо обмеження через змінні. Існують такі обмеження на виробничий процес:

А) Час роботи обладнання. Виробництво р літрів “PinkFizz” і m літрів “MintPop” потребує (0,02 р + 0,04 m) годин щоденно. Максимальний час роботи обладнання складає 24 год в день. Таким чином: 0,01 р + 0,04 m24 год/день

Б) Спеціальний інгридієнт. Виробництво р літрів “PinkFizz” і m літрів “MintPop” потребує (0,01 р + 0,04 m) 16 кг/день.

Інших обмежень не має, але розумно передбачити, що фірма не може виробляти напої у від’ємних кількостях , тому:

р0, m0.

Кінцеве формулювання задачі лінійного програмування має наступний вигляд. Максимізувати:

Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день).

при обмеженнях:

час роботи обладнання: 0,01 р + 0,04 m24 год/день

спеціальний інгридієнт: 0,01 р + 0,04 m16 кг/день.

р, m0. (3, с.402).

Різновидом задач лінійного програмування є транспортні задачі. Нехай потрібно перевезти деяку кількість одиниць однорідного товару з різних складів в декілька магазинів. Приймемо слідуючі позначення: k – число складів, n – число магазинів, а_і – кількість товару на і-ому складі, b_j - кількість товару, необхідного j-ому магазину, x_ij - кількість одиниць товару, що перевозиться з і-го складу в j-ий магазин. Передбачається, що a₁ + … + a_k = b₁ + …b_n і що відомі вартості c_ij перевезення одиниці товару з і-го складу до j-го магазину (вважається, що загальна вартість перевезення пропорційна загальному обсягу перевезення c_ij x_ij при перевезенні з і-го складу до j-го магазину). Потрібно знайти такі обсяги перевезень, щоб F ( x ) = ( c ₁₁ x ₁₁ + … + c_1n x_1n ) + (c_i1 x_i1 + … + c_in x_in ) +

+ (c_k1 x_k1 + … + c_kn x_kn ) -> min при обмеженнях:

(II).

Для нас важливим є те, що всі невідомі змінні входять до цільової функції, а також в обмеження в першому ступені і являються неперервно знінюваними величинами. Рівності n = k не вимагається.

Для розв’язку задач лінійного програмування використовується декілька методів, серед яких найбільш розповсюдженими є симплекс-метод (складається симплекс-таблиця, в якій за допомогою числа ітерацій методом Гауса-Жордана знаходиться оптимальне значення цільової функції) та графічний метод.

На практиці в сферах фінансів, маркетингу, інвестування та інших дуже часто виникає проблема раціонального розподілу якихось ресурсів (капіталовкладень, товару тощо). Щоб прийняти вірне рішення щодо оптимального розподілу ресурсів застосовується математична модель динамічного програмування. Динамічне програмування використовується для дослідження багатоетапних процесів. Стан системи, якою керують, характеризується певним набором параметрів (фазовими координатами). Процес переміщення в фазовому просторі розподіляють на ряд послідовних етапів і здійснюють послідовну оптимізацію кожного з них, починаючи з останнього. На кожному етапі знаходять умовно оптимальне управління при всеможливих передбаченнях про результати попереднього кроку. Коли процес доходить до вихідного стану, знову проходять всі етапи, але вже з множини умовних оптимальних управлінь обирається одне найкраще [8, с.32]. В простому випадку задача динамічного програмування може вирішуватися наступним методом.

Нехай є n функцій з невід’ємними значеннямиf ₁ ( x ₁ ), x ₁ d ₁ ,..., f_n ( x_n ), x_n d_n , де d ₁ ,…, d_n – області визначення змінних. Потрібно знайти максимум (або мінімум) F ( x ₁ ,…, x_n )= f ₁ ( x ₁ ) + … + f_n ( x_n ) при деяких обмеженнях на змінні x ₁ ,…, x_n . В найпростішому випадку обмеження одне ( не враховуючи природньої вимоги невід’ємності змінних): x ₁ + x ₂ +…+ x_n = A . Схема дій буде наступною: знаходимо F ₁₂ ( A )= max [ f ₁ ( x )+ f ₂ ( A - x )] , далі F ₁₂₃ ( A )= max [ F ₁₂ ( x )+ f ₃ ( A - x )] і т.ін., а в кінці кінців – max F ( x ₁ ,…, x_n )= F _{12… n} ( A )= max [ F _{12… n -1} ( x )+ f_n ( A - x )].

¨ Приклад.

Нехай фірма має три торговельні точки, якусь кількість умовних одиниць капіталу і знає для кожної точки залежність прибутку в ній від обсягу вкладення певного капіталу в цю точку.