Реферат: Механические колебания в дифференциальных уравнениях
откуда
или а
Так как
то
Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем при .
Период затухающих колебаний определяется по формуле
Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным или . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.
Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза.
Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид
(6)
Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид
(7)
Легко заметить, что в обоих последних случаях при имеем .
Если заданы начальные условия и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно и , получим
,
и, следовательно
В случае же, когда , получаем , и следовательно,
Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.
Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая сила где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.
Решение
Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение
Полагая, как и прежде, и, кроме того, перепишем уравнение в виде