Реферат: Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Имеем:

Сравнивая коэффициенты, получаем систему

Так как

то

и

и мы находим частное решение

Преобразуем выражение следующим образом:
.

Обозначив

(14)

перепишем виде

(15)

Выражение

(16)

носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15):

(17)

Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом , довольно скоро становятся мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодического возмущения, так как . Она отличается от q множителем

(18)

характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.

Определим максимум этой амплитуды. Для этого найдем производную функции (18)

Положив , получим уравнение (случай р = 0 отбрасывается как невозможный), коренькоторого дает частоту внешних сил: