Реферат: Метод конструирования задач

1.3.5. Решение: по теореме синусов, а=2 Rsina , тогда выражения а= sinaх, в= sinbу будут частными случаями теоремы, в этом случае sin a =Ö3/2, sinb=1/2, а х и у - диаметр и радиус соответственно, х=2у,Þв=у, Þа=2×Ö3в/2, Þа/в=1/Ö3.

Ответ: а/в=1/Ö3.

1.4. Переход от прямого утверждения к обратному.

Некоторые задачи и теоремы имеют одну интересную особенность: они верны, если их решать от начала до конца, и если логическая цепочка выводов движется в обратном направлении, т.е. данные и искомые величины могут меняться местами.

Алгоритм составления:

1.4.1. Выявление данных и искомых величин.

1.4.2. Решение задачи или доказательство теоремы.

1.4.3. Переход данных величин в искомые и наоборот.

1.4.4. Повторное решение в обратном направлении.

1.4.5. Точная формулировка задачи.

Хочется отметить, что далеко не каждая задача имеет обратный перевод.

Пример 4:

Задача: "Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм" ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.4.1. Данное: диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, искомое: параллелограмм.

1.4.2. Дано: АС^ВК, ВО=ОК, АО=ОС.

Доказать: АВСК - параллелограмм.

Доказательство:

ВО=ОК (по условию), АО=ОС (по условию), ÐВОС=ÐАОК (вертикальные), то ВОС= АОК, ÞАК= ВС, ÐОАК=ÐВСО, а т.к. это внутренние накрест лежащие, то АК½½ВС, аналогично АВ=СК и АВ½½СК,Þ АВСК - параллелограмм.

1.4.3. Данные: параллелограмм; искомые: диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1.4.4. Повторное решение: АК½½ВС,ÞÐКАО=ÐВСО, ÐАКО=ÐСВО и АК=ВС, Þ АОК= СОВ и АО=ОС, а ВО=ОК.

1.4.5. Формулировка задачи: "Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам". (Составлена самостоятельно).

2. КОНСТРУКЦИЯ.

В задачах этого типа выстраивается сооружение, в качестве деталей которого берутся задачи или теоремы, но данный способ конструирования имеет и обратный переход: чаще всего сложную задачу можно разложить на более простые составляющие, что применяется для решения сложных задач и называется "Частный случай", который рассматривается в следующем пункте.

Преобразование задач одного типа в задачи другого типа – одно из простейших творческих упражнений и часто рекомендуется для самостоятельной работы.

Некоторые задачи конструируются авторами под понравившуюся идею решения. Так же можно сконструировать задачу "под ответ".

Алгоритм конструирования:

2.1. Выбор задачи, утверждений решений или результатов для создания конструкции.

2.2. Решение задач или доказательство утверждений (если задача конструируется под ответ или способ решения этот пункт можно исключить).

2.3. Выбор "деталей" для будущей конструкции (данный пункт также необходим лишь в том случае, когда используются задачи или теоремы).