Реферат: Метод конструирования задач

2.5. Уточнение формулировки.

2.6. Решение получившейся задачи.

Пример 5:

В качестве иллюстрации этого способа конструирования выбрана довольно редко встречающаяся задача-ловушка, которая будет сконструирована под специально подобранные данные.

2.1. В данном случае основой задачи выступает выпуклый четырехугольник с заданными сторонами, две из которых равны одному числу, а две оставшиеся - другому.

2.4. Пусть этот четырехугольник будет иметь длины сторон 6 и 10, и лежать в основании четырехугольной пирамиды, высота которой равна 7, а грани наклонены к плоскости под углом 60°.

2.5. Уточнение формулировки: "В основании четырехугольной пирамиды лежит выпуклый четырехугольник, две стороны которого равны 6 , а две оставшиеся - 10, высота пирамиды равна 7, боковые грани наклонены к плоскости под углом 60 ° . Найдите объем пирамиды", (ж. “Квант”).

2.6. Дано: АВ=ВС=6, АК=КС=10, h=7, угол к плоскости 60, ОАВСК - пирамида, АВСК - четырехугольник.

Найти: V АВСКО.

Решение:

Двугранные углы при основании равны или 60° или 120°(по условию, но не обязательно 60°, в чем и состоит ловушка), вершина О проектируется в точку, равноудаленную от прямых, образующих четырехугольник, Þ АВСК - не параллелограмм, значит, две соседние стороны равны 6, а две другие, также соседние, 10.

Если у четырехугольника АВСК АВ=ВС=10, АК=КС=6, то существуют две равно - удаленные от его сторон точки (О1 и О2). Расстояния от проекции вершины О до сторон пирамиды равны 7/Ö3 (следствие из условия). Если проекция вершины - точка О1 (центр вписанной в АВСК окружности), то S АВСК=16×7/Ö3, но это невозможно, т.к. S АВСК £60

(наибольшая площадь достигается, если углы ÐКАВ и ÐВСК прямые, тогда

S АВСК = 1/2d1× d2×sin(d1d2)=1/2×8×15× sin 90°=60,Þвершина О проектируется в точку О2,расстояния от которой до сторон равны 7/Ö3, тогда S АВСК = =(10 - 6) 7/Ö3= 28/Ö3 , а V АВСКО=64/Ö3.

Ответ: V АВСКО=64/Ö3.

3. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ.

Иногда поставленная задача оказывается настолько трудной, что не поддается решению, тогда используется следующий способ: решается часть задачи или рассматривается несколько задач, аналогичных данной, что и называется использованием “частного случая”. Бывает, что преподавателю не хватает какой-то простой задачи для иллюстрации новой теоремы, тогда тоже может помочь “частный случай”.

В истории есть примеры того, что обобщенные теоремы не находят применения, а их “частные случаи” получают широкое распространение и являются одними из важнейших среди прочих теорем математики (примером подобной ситуации может послужить теорема Паппа и ее “частный случай” теорема Пифагора).

Алгоритм конструирования:

3.1. Решение сложной конструкции

3.2. Детализирование задачи.

3.3. Изменение условий.

3.4. Объяснение возможного изменения решения.

3.5. Соединение и уточнение условий.

3.6. Решение полученной задачи.

Пример 6: Задача: "Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. (Теорема Птолемея)" (ж. " Квант"№4 1991г.") 3.1. Дано: окр., АВСК - вписанный четырехугольник, АС и ВК - диагонали.

Доказать: ВК × АС= СК ×АВ + ВС ×АК.

Доказательство:

Возьмем на диагонали АС точку М такую, что ÐАВМ= ÐСВК. Поскольку

угол ÐСКВ=ÐМАВ (как вписанные), ВСК подобен АВМ, поэтому ВК: АВ=СК: АМ Û АВ×СК=АМ×ВК(1). Из того, что ÐАВК=ÐМВС (по построению), а Ð ВСМ= ÐАКВ (вписанные), следует, что АВК подобен МВС,ÞАК: СМ= ВК: ВСÛ АК×ВС=ВК× СМ (2).