Реферат: Метод конструирования задач

3.2. Итак, теорему можно поделить на группу терминов: "произведение диагоналей", "вписанный четырехугольник" и "сумма произведений противоположных сторон".

3.3. Для того чтобы получить частный случай теоремы Птолемея, выбран термин "вписанный четырехугольник", который изменяется на "вписанный квадрат".

3.4. В результате изменения условий, изменяется и решение: точка М переносится в центр окружности, который является и точкой пересечения диагоналей квадрата.

3.5. Полученная задача выглядит так: “Докажите, что квадрат стороны вписанного квадрата равен двум площадям этого квадрата”. (Составлена самостоятельно).

3.6. Решение:

Дано: АВСК - вписанный квадрат, АС и ВК - диагонали, О - центр окружности.

Доказать: ВК× ВК=2 S АВСК.

Доказательство:

Т.к. ÐАВО=ÐСВК (диагональ квадрата является биссектрисой),

ÐСКВ=ÐОАВ (вписанные), ВСК подобен АВК,Þ АВ×АВ= АО×ВК (1).

Т.к.ÐАВК=ÐОВС (аналогично ÐАВО=ÐСВК), ÐВСО=ÐАОВ (вписанные), АВК подобен ОВС, Þ ВА×ВА=ВК×СО (2).

Сложив(1)и(2),получаем: ВК×ВК=ВА×ВА, т.к. ВА×ВА=2S АВСК, ВК×ВК=2S АВСК, что и требовалось доказать.

Хочется отметить, что "Частный случай" всегда решается проще образовавшей его задачи.

В некоторых случаях между данными и искомыми величинами в задаче общего характера существует сложная зависимость, и решить эту задачу элементарными методами не удается, в то время как частная задача этого типа имеет вполне простое и красивое решение.

4. ВАРЬИРОВАНИЕ УСЛОВИЙ.

Варьирование условий - способ конструирования задач, который может изменить решение и результат задачи путем замены всего одного слова, например, задача на построение треугольника по трем сторонам имеет элементарное решение, а если заменить "стороны" на "биссектрисы", решение многократно усложняется. Варьирование условий зачастую приводит к образованию целых циклов задач, очень похожих друг на друга по звучанию, но совершенно различных по типу и сложности решения. Варьирование бывает разным: в первом случае изменяется определение или термин, во втором - равенство или неравенство, причем эти два способа довольно сильно отличаются на практике, хотя и схожи в теории.

Алгоритм конструирования:

4.1. Выделение условий для изменения.

4.2. Изменение выбранных условий.

4.3. Уточнение формулировки.

Пример 7:

Задача: "На плоскости даны две точки: А и В. Найдите геометрическое место точек плоскости С таких, что для треугольника АВС имеет место равенство: ah а =вh в (где h а и h в - высоты, опущенные на стороны а и в). (ж. "Квант" №9, 1991г.)

4.1. Т. к. в задаче используется равенство, то для изменения выбраны его члены: а и в .

4.2. Пусть а изменится на проведенную к ней медиану ма, а в - на медиану мв.

4.3. Итоговая формулировка: "На плоскости даны две точки: А и В, найдите геометрическое место точек С таких, что для треугольника имеет место равенство:

м в × h а =h в × м а ", (ж. “ Квант”).

5. ОБОБЩЕНИЕ.

Обобщение - один из первых способов получения новых задач и теорем, хотя далеко не каждую задачу или теорему можно обобщить. Бурный процесс обобщения математических знаний и создание все более и более абстрактных теорий начались в девятнадцатом веке, и продолжается до сих пор.

В процессе развития математики многие математические понятия претерпевали значительные изменения в сторону обобщения. Некоторые первоначальные определения с более общей точки зрения оказывались неудачными, и их приходилось изменять, давать новые наименования.