Реферат: Методы оценки температурного состояния

Граничные условия на четвертом участке.

Граничные условия вдоль оси Oz на четвертом участке задаются при допущении отсутствия теплообмена на этой границе:

. (2.34)

2.2 Математическая формулировка задачи расчета температурного поля оправки

В общем виде уравнение теплопроводности записывается так:

,(2.35)

где - температура, - теплоемкость удельная массовая теплоемкость, - коэффициент теплопроводности и - плотность источников тепла.

Поскольку внутренних источников тепла нет, то уравнение записывается так:

. (2.36)

Поскольку прошивная оправка представляет собой тело вращения, то удобно использовать цилиндрическую систему координат. На первом участке для повышения точности решения применена сферическая система координат. Уравнение теплопроводности для сферической системы координат (участок I):

. (2.37)

Для цилиндрической системы координат (участки II, III и IV):

. (2.38)

В уравнениях - цилиндрические координаты; - сферические координаты; - температура; - время; - удельная объемная теплоемкость; - плотность материала оправки; - удельная массовая теплоемкость.

Для центра сферы уравнение теплопроводности записывается следующим образом:

. (2.39)

Для оси центра:

. (2.40)

Для выделения единственного решения дифференциального уравнения применяются описанные выше условия однозначности [3], [4].

3. Метод и алгоритм решения уравнений теплообмена

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.36) с соответствующими начальными и граничными условиями применяется метод конечных разностей. Конечно-разностная сетка изображена на рис.3.1 Каждый узел сетки нумеруется в виде , где - номер узла по направлению для полусферы и цилиндра, a - номер узла по направлению для полусферы и по направлению для цилиндра. Нумерация узлов начинается от центра сферы и оси цилиндра. Коническая поверхность оправки заменена ступенчатой, кратной шагу . Дискретные моменты времени обычно нумеруются индексами: - предыдущий, а - последующий моменты времени. Номер предыдущей и последующей итерации обозначается верхними индексами и соответственно.

Для аппроксимации дифференциальных уравнений теплопроводности (2.37) - (2.40) применяется неявная консервативная итерационная разностная схема, реализуемая методом Гаусса-Зейделя. Суть этого метода заключается в том, что при расчете температуры в узле на -й итерации используются температуры и из предыдущей итерации и вновь вычисленные температуры и на расчетной -й итерации. Неявность разностной схемы достигается применением итерационной процедуры на каждом временном слое.

Рис.3.1 Конечно-разностная сетка, применяемая в численном методе конечных разностей при решении задачи теплопроводности оправки.

Конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения теплопроводности для всех характерных участков оправки записываются так:

а) внутренние узлы сферы :

(3.1)

б) внутренние узлы конической и цилиндрической частей оправки :

(3.2)

в) температура в узлах, расположенных на поверхности сопряжения: полусфера - конус, рассчитывается следующим образом. Поскольку поверхность сопряжения одновременно принадлежит полусфере и конусу, то вторая производную по координатам и аппроксимируется по формулам, приведенным далее. Для полусферы принимается составляющая второй производной по углу в сферических координатах, а для конической части - составляющая второй производной по в цилиндрических координатах. Узлы, расположенные на поверхности сопряжения полусфера - конус, пронумерованы . На поверхности сопряжения при использовании равномерной сетки уравнения записываются так:

(3.3)