Реферат: Некоторые приложения финансовой математики
Доходность операции в целом определяется по формуле
Отсюда, подставив выражение для Sr , получим
Зависимость показателя эффективности iэ от k линейная, iэ =j при k=1, iэ >j при k>1, iэ <j при k<1.
Найдём критическое значение k*, при которых iэ =0:
k*=1/(1+nj) или K*1 =K0 /(1+nj).
Таким образом, если ожидаемые величины k или K1 меньше своих критических значений, то операция убыточна (iэ <0).
Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в тенге, определяется путём приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства iэ =i):
K1 (1+nj)/K0 =1+ni,
откуда
min k=(1+ni)/(1+nj)
или
minK1 =K0 (1+ni)/(1+nj).
Таким образом, депозит сумм в тенге через конвертацию в валюту выгоднее депозита в тенге, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K1 .
Рассмотрим вариант совмещения конверсии валюты и наращения сложных процентов:
ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ –> ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА.
Три этапа операции запишем в одной формуле для наращенной суммы:
Sv =Pv K0 (1+i)n /K1 ,
где i – ставка сложных процентов.
Множитель наращения
m=(1+i)n K0 /K1 =(1+i)n /k,
где k=K1 /K0 – темп роста валютного курса за период операции.
Определим доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов iэ . Из формулы наращения по сложным процентам
S=P(1+i)n
находим:
Подставив в эту формулу значение Sv , получим
Из этого выражения следует, что с увеличением темпа роста k эффективность iэ падает.
Анализ показывает, что при k=1 iэ =i, при k>1 iэ <i, а при k<1 iэ >i.критическое значение k, при котором эффективность операции равна нулю, определяется как
k*=(1+i)n ,
что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по ставке в тенге.
Таким образом, если ожидаемые величины k или K1 больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конверсией убыточна (iэ <0).
Максимально допустимое значение k, при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке j, находится из равенства соответствующих множителей наращения:
(1+j)n =(1+i)n /kmax ,
откуда
kmax =(1+i)n /(1+j)n , max K1 =K0 (1+i)n /(1+j)n .
Таким образом, депозит валюты через конвертацию в тенге выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце опреации ожидается меньше max K1 .
Пример .
Имеется сумма в евро, которую предполагается разместить на полугодовой депозит. Обменный курс в начале операции 193 тенге за евро, в конце операции предполагается 197 тенге. Годовая ставка простых процентов по депозитам в тенге 17%, по валютным – 5%.
Определить, как выгоднее разместить вклад: валютный или через конверсию в тенге.
Решение .
При двойной конверсии: евро тенге тенге евро расчёт производим по формуле 
с учётом того, что K0 =193, K1 =197:
k=K1 /K0 =197/193=1,02,
iэ =[(1+0,5. 0,17)/1,02. 0,5]-1/0,5=0,13.