Реферат: Обобщенный принцип наименьшего действия

Пример. Задача Дидоны с канавой. В распоряжении царевны имеется веревка заданной длины L, которой следует ограничить участок побережья, причем береговая черта представляется линией x=0 на плоскости Оtx (Рис.2). При этом надо найти кривую длины L, лежащую в полуплоскости, соединяющую точки (-1,0) и (1,0), такую что площадь между кривой и осью t максимальна.

Стремясь иметь для примера негладкий интегрант, Кларк модифицировал [3, с.178] задачу Дидоны следующим образом. Он полагает, что для некоторого a >0 земля в области x>a худшего качества и доход с нее составляет только половину дохода с земли в области x<a .

Рис.2. Участок Дидоны с канавой

Доход Д с огороженного участка, ограниченного кривой x(t), равен

(П.1)

где g_n [x(t)] = {x(t), если; (x+a )/2, если } .Следует максимизировать значение дохода Д (интеграла (П.1)) при наличии ограничений

(П.2)

. (П.3)

Далее Кларк использует методы негладкого анализа для решения модифицированной задачи Дидоны. Применение этих методов ограничивается негладкими интегрантами и абсолютно непрерывными экстремалями.

Для частичной иллюстрации возможностей предложенного нами метода решения задач с разрывным интегрантом будем полагать, что участок Дидоны параллельно береговой линии пересекает канава шириной b -a . Один берег канавы проходит по линии x(t)=a ., а другой - по линии x(t)=b . Участок канавы, ограниченный берегами и веревкой (рис.2), никакого дохода не приносит, и интегрант выглядит так:

(П.4)

Веревка ограничивает канаву, пересекая ее, но разорвать веревку Дидона не может, поэтому изопериметрическое условие (П.3) остается в силе. Требуется максимизировать доход с участка, расположенного по берегам канавы, ограниченного береговой линией и веревкой.

Представим g[x(t)] с помощью единичной функции включения (1.2) в виде

В уравнение Эйлера простейшей вариационной задачи (2.6) входят производные интегранта по x и по. Вычислим эту производную

Производя сокращения и учитывая свойства d -функции [7], находим

или

(П.5)

С учетом изопериметрического условия (П.3), получим дифференциальное уравнение для экстремали

(П.6)

где l - неопределенный пока множитель Лагранжа [7].

Уравнение (П.6) при и ограничениях (П.2) имеет интегралом окружность

(П.7)

где C = ¦ (l ² /a² -1)^1/2 , симметрично расположенную относительно оси Оx (рис.2). Выразим длину веревки Дидоны через параметры задачи a , b , g и неизвестный коэффициент l .

В горизонтальной полосе 0<x<a и центр соответствующей окружности располагается ниже оси Оt (иначе интегральные дуги окажутся вне вертикальной полосы -1<t<1), откуда для длины дуги получим

(П.8)