Реферат: Обработка результатов экспериментов и наблюдений

Из изложенного следует, что

Х = а при n ® ¥,

т.е. при бесконечном числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению результатов всех измерений. При ограниченном числе измерений истинное значение будет отличаться от среднеарифметического и необходимо оценить величину этого расхождения: Х = а ± Dх.

Следует еще раз подчеркнуть, что среднеарифметическое значение, принимаемое за истинное значение измеряемой величины, является наиболее вероятным значением. Среди значений а_i могут оказаться значения, которые в действительности ближе к истинному значению.

Отклонение Dх вероятнейшего значения а от его истинного значения Х называют истинной абсолютной ошибкой.

1.6. Оценка точности измерений

Для ряда равноточных измерений а₁ , а₂ ...а_n определим его среднеарифметическое значение а и составим разности (а - а₁ ), (а - а₂ ), ..., (а - а_n ).

Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения (V_i ). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки Dх_i = (Х - а_i ), бывают положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим т.е. алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.

Вероятнейшие ошибки V_i лежат в основе математической обработки результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку Dа_i среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата измерений.

Средняя истинная случайная ошибка (иначе - среднее отклонение отдельного измерения) определяется выражением (Dх₁ +Dх₂ +...+Dх_n )/n.

Величина [(Dх₁ )² +(Dх₂ )² +...+(Dх_n )² ]/n представляет средний квадрат случайной ошибки или дисперсию S² выборки (при ограниченном n) или генеральной совокупности s² (при бесконечном n). Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения S = является лучшим критерием точности, чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных и отрицательных ошибок Dх_i и сильнее учитывается действие крупных ошибок.

Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и истинные случайные ошибки х_i . Для определения средней квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n справедливо равенство

.

Различный знаменатель объясняется тем, что величины х_i являются независимыми, а из n величин V_i независимыми являются n-1, т.к. в величину V_i входит а, само определяемое из этих же n измерений.

Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:

S = ±.

Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим величину Dх = Х - а.

Для этого проведем преобразование выражения

S_n ² =

=

= .

Если повторить серии по n измерений в каждой N ðàç, ìîæíî ïîëó÷ить средние значения а₁ , а₂ , ... , а_N и погрешности результатов измерений

(Dх)₁ = (Х - а₁ ); (Dх)₂ = (Х - а₂ ); ... ; (Dх)_N = (Х - а_N )

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии

S_a ² = .

При большом числе N S² _a ® s² _a

.

Усредняя выражение S² _n по числу серий N, получаем

S_a ² = (Dx)² = S_n ² - .