Реферат: Окремі випадки задач оптимального стохастичного керування
Функції і можуть бути довільними, а математичні сподівання можна обчислювати, якщо як функція від є вимірною.
Якщо ж оптимальна стратегія, отримана в результаті оптимізації, виявиться невимірною, то і функція може виявитися невимірною. У цьому випадку математичне сподівання невизначено.
Для розв’язання цієї проблеми застосовують два підходи. Перший полягає в накладенні на функції і таких обмежень, які забезпечували б вимірність підінтегральної функції на кожному кроці оптимізації : функції і , , повинні бути неперервними по своїх аргументах і повинна існувати щільність імовірності розподілу випадкової величини , а множини значень припустимих стратегій повинні бути компактними.
На жаль, на практиці ці вимоги не завжди виконуються. Тому другий підхід пов’язаний з використанням зовнішнього інтеграла.
Позначимо через простір елементарних подій, що є довільною множиною, а – деяка система підмножин множини .
Математичним сподіванням випадкової величини , заданої на імовірнісному просторі , називається число , якщо інтеграл з правої частини існує.
Нехай і – борелівські простори, , є -алгеброю в . Функція називається -вимірною, якщо для будь-якої множини . Тут – борелівська -алгебра простору .
Для функції , () зовнішній інтеграл за мірою визначається як нижня грань інтегралів від всіх вимірних функцій (), що мажорують , тобто
, .
Тут – функція розподілу випадкової величини , що відповідає ймовірнісній мірі .
Для довільної функції має місце співвідношення:
,
де , , і вважають, що .
Оскільки зовнішній інтеграл визначений для будь-якої функції, як для вимірної, так і для невимірної, то ніяких додаткових обмежень на функції і накладати не треба.
Для вимірних функцій обидва види математичних сподівань співпадають. Отже, у постановках задач можна замінити звичайне математичне сподівання на зовнішнє, і навіть якщо знайдена при цьому функція виявиться вимірною, то отримана стратегія керування не перестане бути оптимальною.
Зовнішня міра множини визначається співвідношенням .
Для будь-якої множини
,
де – це індикатор множини , що визначається як
а) якщо , то ;
б) якщо і , то ;
в) якщо або , то ;
г) якщо задовольняє рівності , то для будь-якої функції має місце рівність ;
д) якщо , то для будь-якої функції ;
е) якщо і , то . Якщо при цьому хоча б одна з функцій або -вимірна, то останнє співвідношення вірно зі знаком рівності.
Позначимо через дійсну пряму, а через – розширену дійсну пряму і надалі у всіх висновках замість дійсної прямої використовуватимемо поняття розширеної дійсної прямої.
Вважатимемо, що для розширеної дійсної прямої мають місце всі співвідношення порядку додавання і множення, які було введено для , і припустимо, що і .
Позначимо через множину всіх дійсних у розширеному розумінні функцій , де – простір станів.
– банахів простір всіх обмежених дійсних функцій з нормою, що визначається за формулою
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--