Реферат: Окремі випадки задач оптимального стохастичного керування
Функції і
можуть бути довільними, а математичні сподівання можна обчислювати, якщо
як функція від
є вимірною.
Якщо ж оптимальна стратегія, отримана в результаті оптимізації, виявиться невимірною, то і функція може виявитися невимірною. У цьому випадку математичне сподівання невизначено.
Для розв’язання цієї проблеми застосовують два підходи. Перший полягає в накладенні на функції і
таких обмежень, які забезпечували б вимірність підінтегральної функції на кожному кроці оптимізації
: функції
і
,
, повинні бути неперервними по своїх аргументах і повинна існувати щільність імовірності розподілу випадкової величини
, а множини
значень припустимих стратегій повинні бути компактними.
На жаль, на практиці ці вимоги не завжди виконуються. Тому другий підхід пов’язаний з використанням зовнішнього інтеграла.
Позначимо через простір елементарних подій, що є довільною множиною, а
– деяка система підмножин множини
.
Математичним сподіванням випадкової величини , заданої на імовірнісному просторі
, називається число
, якщо інтеграл з правої частини існує.
Нехай і
– борелівські простори,
,
є
-алгеброю в
. Функція
називається
-вимірною, якщо
для будь-якої множини
. Тут
– борелівська
-алгебра простору
.
Для функції , (
) зовнішній інтеграл за мірою
визначається як нижня грань інтегралів від всіх вимірних функцій
(
), що мажорують
, тобто
,
.
Тут – функція розподілу випадкової величини
, що відповідає ймовірнісній мірі
.
Для довільної функції має місце співвідношення:
,
де ,
, і вважають, що
.
Оскільки зовнішній інтеграл визначений для будь-якої функції, як для вимірної, так і для невимірної, то ніяких додаткових обмежень на функції і
накладати не треба.
Для вимірних функцій обидва види математичних сподівань співпадають. Отже, у постановках задач можна замінити звичайне математичне сподівання на зовнішнє, і навіть якщо знайдена при цьому функція виявиться вимірною, то отримана стратегія керування не перестане бути оптимальною.
Зовнішня міра множини визначається співвідношенням
.
Для будь-якої множини
,
де – це індикатор множини
, що визначається як
а) якщо , то
;
б) якщо і
, то
;
в) якщо або
, то
;
г) якщо задовольняє рівності
, то для будь-якої функції
має місце рівність
;
д) якщо , то
для будь-якої функції
;
е) якщо і
, то
. Якщо при цьому хоча б одна з функцій
або
-вимірна, то останнє співвідношення вірно зі знаком рівності.
Позначимо через дійсну пряму, а через
– розширену дійсну пряму і надалі у всіх висновках замість дійсної прямої використовуватимемо поняття розширеної дійсної прямої.
Вважатимемо, що для розширеної дійсної прямої мають місце всі співвідношення порядку додавання і множення, які було введено для , і припустимо, що
і
.
Позначимо через множину всіх дійсних у розширеному розумінні функцій
, де
– простір станів.
– банахів простір всіх обмежених дійсних функцій
з нормою, що визначається за формулою
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--