Реферат: Определенный интеграл
Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей 
и 
. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим 
, 
. Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь 
заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке 
функций 
и 
,
а слева и справа – прямыми 
и 
(рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений 
находим 
, 
; следовательно, 
, 
. На отрезке 
имеем: 
. Значит, в формуле (8) в качестве 
возьмем x , а в качестве 
– 
. Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , 
, 
.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью 
, слева и справа – прямыми 
и 
, сверху – графиками функций и 
. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой 
на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий 
и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.); 
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
|
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми 
и 
, осью 
и непрерывной на 
кривой 
(рис. 9), то ее площадь находится по формуле
.
2. Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке 
функции 
, осью , прямыми 
и 
, вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси 
криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой 
, прямыми 
, 
и осью .