Реферат: Оптимальність у системах керування
Керування називається екстремальним керуванням, якщо воно задовольняє принципу максимуму.
Для лінійної задачі оптимальної швидкодії з областю керування – багатогранником керування
є екстремальним, якщо існує таке нетривіальне розв’язання
системи (17), для якого матиме місце співвідношення (18).
Зрозуміло, що будь-яке оптимальне керування є екстремальним. Тому, щоб знайти оптимальне керування, що переводить фазову точку зі стану у стан
, треба відшукати всі екстремальні керування з цими крайовими умовами, а потім серед них вибрати те, що здійснює перехід за найменший час.
У загальному випадку можуть існувати кілька оптимальних керувань, що переводять фазову точку зі стану у стан
, але якщо початок координат у просторі керувань є внутрішньою точкою багатогранника
, то екстремальне керування єдине. Отже, у лінійних задачах оптимальної швидкодії принцип максимуму дозволяє не тільки визначити вид оптимальних керувань, але й одержати умови єдиності оптимального керування.
Припустимо, що початок координат є внутрішньою точкою багатогранника припустимих керувань. Якщо
і
– два екстремальних керування, що переводять фазову точку зі стану
у стан
за час
і
відповідно, то
і
,
.
У теоремі має місце умова .
Теорема. Якщо існує хоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану у стан
, то існує й оптимальне по швидкодії керування, що також переводить систему з
у
.
4. Умови оптимальності у задачі з рухомими кінцями
У задачі з рухомими кінцями або початковий стан , або кінцевий стан
, або обидва ці стани невідомі. Задані тільки множини
і
, що містять точки
та
.
Гіперповерхня – це множина всіх точок , які задовольняють співвідношенню
,
де – скалярна диференційована функція. Якщо
– лінійна функція, то гіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням
. (19)
Якщо , то гіперплощина (19) є (
)-вимірним лінійним підпростором в
.
Будь-який ()-вимірний підпростір
може бути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з
рівнянь із
невідомими, матриця якої має ранг
:
.
Такий лінійний підпростір називається -вимірною площиною. Множина розв’язань системи нелінійних рівнянь
де функції , …,
диференційовані і ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює
, є
-вимірним гладким різноманіттям.
Задача оптимального керування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустиме керування для системи із законом руху
,
,
,
яке переводить фазову точку з деякого, заздалегідь невідомого, стану на
-вимірному різноманітті
(
) у деякий стан
на
-вимірному різноманітті
(
) і надає найменшого значення функціоналу
.
Задача оптимального керування з фіксованими кінцями є окремим випадком цієї задачі при , тобто коли різноманіття
і
вироджуються в точку.
Відсутність рівнянь, що задають початковий і кінцевий стани, приводить до того, що система необхідних умов перестає бути повною. У цьому разі для одержання відсутніх рівнянь використовують умови, що називаються умовами трансверсальності.
Умови трансверсальності. Вектор спряжених змінних із принципу максимуму задовольняє умові трансверсальності на лівому кінці траєкторії
, якщо вектор
ортогональний дотичній площини до різноманіття
в точці
, тобто
, (20)
де – довільний вектор, що лежить у дотичній площини. Аналогічно формулюється умова на правому кінці.
Якщо ,
– оптимальний процес у задачі з рухомими кінцями
,
, то ненульова вектор-функція
, що існує відповідно до теореми 3, задовольняє на кожному з кінців траєкторії умовам трансверсальності.