Реферат: Основні правила диференціювання Таблиця похідних

Отже, від функції в точці існує похідна:

(6.23)

Теорему доведено.

Якщо функція має похідну в довільній точці і

, то формула (6.23) справджується для цих точок

або, що те саме,

(6.24)

У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними: - похідна від до , а - похідна від до . Тому формулу (6.24) записують

(6.25)

Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.

Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями і . Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:

(6.26)

2. Похідні від елементарних функцій

Похідна від степеневої функції

Випадок натурального показника. Нехай , де - натуральне число. Тоді функція визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку і надамо їй приросту . Тоді функція матиме приріст :

Розкриємо за формулою бінома Ньютона:

Знайдемо відношення

Перейшовши в цій рівності до границі при , дістаємо

Отже похідна від степеневої функції з натуральним показником існує і дорівнює

Випадок довільного показника . Нехай є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від .

Нехай - область існування функції . Візьмемо довільне , але (випадок розглянемо окремо). Тоді приріст дорівнює

Знайдемо відношення