Реферат: Основні правила диференціювання Таблиця похідних

П лан

• Основні правила диференціювання.
• Похідні від елементарних функцій.
• Похідна від степеневої функції.
• Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
• Похідні від тригонометричних функцій.
• Похідні від обернених тригонометричних функцій.
• Похідна від складної функції.

1. Правила диференціювання

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.

1⁰ . Похідна від аргументу . Покладемо , тоді . Тому .

Отже, якщо , то

. (6.14)

1. Похідна від сталої функції .

Значення цієї функції у точках і рівні між собою при будь-якому . Тому приріст , а отже й .

Перейшовши до границі, в останній рівності при маємо

.

Границя відношення при існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці , яка теж дорівнює нулю, тобто

. (6.15) 3. Похідна від суми.

Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює

. (6.16)

Д о в е д е н н я. Надамо деякого . Тоді функції матимуть прирости , функція - приріст . Знайдемо відношення

.

Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок того, що в точці згідно з умовою теореми мають похідну, то

, .

Тому

Отже, в цій точці існує похідна від функції і вона дорівнює .

Теорему доведено.

Наслідок . Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто

(6.17)

4. Похідна від добутку.

Теорема . Якщо функції в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну:

. (6.18)

Д о в е д е н н я. Надамо деякого приросту . Тоді функції матимуть прирости , а функція приріст

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--