Реферат: Основні правила диференціювання Таблиця похідних

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , .

Тому

Похідна від степенево-показникової функції.

Означення . Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією.

Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.

Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:

Звідси

або

(6.44)

Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати.

Приклади .

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к.

Зауваження . Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.

Приклад .

Знайти похідну від функції