Реферат: Поиск клик в графах

Для иллюстраций условий и решений многих задач люди пользуются графиками. По своей сути графики являются набором из множества точек и отрезков прямых соединяющих эти точки. Возникает вопрос: подчиняются ли графики каким-либо законам и обладают ли они какими-нибудь свойствами? Этот вопрос был поставлен Д. Кенигом, который впервые объединил все схематические изображения, состоящие из совокупности точек и линий, общим термином “граф” и рассмотрел граф как самостоятельный математический объект. Теория графов нашла свое применение в решении целого ряда задач. В моем курсовом проекте будет рассмотрен раздел теории графов посвященный максимальным полным подграфам, тоесть кликам. Целью проекта является написание программы на языке программирования, которая из заданного графа выделяла бы клику с заданным числом вершин.

Допустим задан граф G=(Х,Г). Довольно часто возникает задача поиска таких подмножеств множества вершин Х графа G, которые обладают определенным, наперед заданным свойством. Например, какова максимально возможная мощность такого подмножества S Í Х, для которого порожденный подграф S является полным? Ответ на этот вопрос дает кликовое число графа G. Это число и связанное с ним подмножество вершин описывает важные струтурные свойства графа и имеет непосредственные приложения при проведение проектного планирования исследовательских работ, в кластерном анализе и численных методах таксономии, паралельных вычмслениях на ЭВМ, при размещении предприятий обслуживания, а также источников и потребителей в энергосистемах.

Часть 1. Теоретическая часть к курсовому проекту

Глава1. Теория графов

Понятие графа

Графом G(X,U) называется совокупность двух объектов некоторого множества X и отображения этого множества в себя Г .

При геометрическом представлении графа элементы множества Х изображаются точками плоскости и называются вершинами графа. Линии, соединяющие любые пары точек x и y , из которых у является отображением х , называются дугами графа. Дуги графа имеют направление, обозначаемое стрелкой, которая направлена острием от элемента х к его отображению у .

Вершины и линии графа

Две вершины А и В являются граничными вершинами дуги, если А - начало дуги, а В ее конец.

Смежными называются различные дуги, имеющие общую граничную точку. Две вершины х и у смежны, если они различны и существует дуга, идущая от одной из них к другой .

Вершина называется изолированной, если она не соединена дугами с другими вершинами графа.

Если дуга U исходит из вершины х или заходит в х , то дуга U называется инцидентной вершине х , а вершины х инцидентной дуге U . Общее число дуг, инцидентной вершине х , являются степенью вершины х Р(х) . Вершины, степень которых Р(х)>2 , называются узлом, а со степенью Р(х)<2 - антиузлом.

Полустепень захода Р⁺ (х) вершины х - количество дуг, заходящих в данную вершину. Полустепень исхода Р^- (х) - количество дуг, исходящих из данной вершины.

Последовательность линий на графе

Путь - последовательность дуг (U₁ , U₂ , ...U_n ), в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом последующей. Путь может быть конечным и бесконечным.

Путь называется простым, если в нем никакая дуга не встречается дважды, и составным, если любая из дуг встречается более одного раза.

Путь, в котором ни одна из вершин не встречается более одного раза, называется элементарным путем.

Гамильтонов путь - путь проходящий через все вершины, но только по одному разу,

Эллеров путь - путь содержащий все дуги графа, при этом только по одному разу.

Длинна пути - число дуг последовательности (U₁ , U₂ , ...U_n ).

Ветвь - путь, в котором начальная и конечная вершины являются узлами. Дуга (x,y) называется замыкающей, если удаление ее не приводит к аннулированию пути из x в y.

Контур - конечный путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине. Контур единичной длинны называется петлей.

Ориентированный граф - граф, у которого вершины соединяются направляющими стрелками.

Графы можно рассматривать с учетом или без учета ориентации его дуг.

Разновидности графов

Нуль-граф - граф (X,U) , состоящий только из изолированных вершин.

Однородный граф - если степени всех вершин графа одинаковы и P⁺ (x)=P^- (x) =0.

Симметрический граф - граф, в котором две любые смежные вершины соединены только двумя противоположно ориентированными дугами.

Антисимметрический - граф, в котором каждая пара смежных вершин соединена только в одном направлении.

Полный - граф, в котором любая пара вершин соединена одинаковым числом дуг.

Мультиграф - граф, в котором хотя бы две смежные вершины соединены более чем одной дугой. Наибольшее число дуг, соединяющих смежные вершины графа называется кратностью.

Подмножества графов

Подграфом графа G(X,U) называется граф G(A,U_A ) , определяемый следующим образом:

1. Вершинами A подграфа G(A,U_A ) является некоторое подмножество вершин графа G(X,U);

2. Отображением каждой вершины подграфа является пересечение отображения той же вершины в графе G(X,U) со всем подмножеством вершин A подграфа G(A,U_A ).

Частичным графом для графа G(X,U) называется граф G(X,U) , в котором содержатся все вершины и некоторое подмножество дуг исходного графа.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--