Реферат: Построение эйлерова цикла. Алгоритм Форда и Уоршелла

1. Эйлеровы цепи и циклы

Рассматриваемая задача является одной из самых ста­рей­ших в теории графов. В городе Кенигсберге (ныне Калининград) имелось семь мостов, соединяющих два берега реки Преголь, и два основа на ней друг с другом (рис. 1а). Требуется, начав путешествие из одной точки города прой­ти по всем мостам по одному разу и вернуться в исходную точку.

а) б)

Рис. 1.

Если поставить в соответствие мостам ребра, а участкам суши — вершины, то получится граф (точнее псевдограф), в котором надо найти про­стой цикл, проходящий через все ребра. В общем виде эта задача была решена Эйлером в 1736 г.

Определение 1. Эйлеровой цепью в неориентированном графе G называется простая цепь, содержащая все ребра графа G . Эйлеровым циклом назы­вается замкнутая Эйлерова цепь. Аналогично, эйлеров путь в орграфе G — это простой путь, содержащий все дуги графа G . Эйлеров контур в орграфе G — это замкнутый эйлеров путь. Граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым .

Простой критерий существования эйлерова цикла в связном графе дается следующей теоремой.

Теорема 1. (Эйлер) Эйлеров цикл в связном неориентированном графе G (X , E ) существует только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.

Доказательство. Необходимость. Пусть m - эйлеров цикл в связном гра­фе G , x — произвольная вершина этого графа. Через вершину x эйлеров цикл проходит некоторое количество k (k ³1) раз, причем каждое прохождение, очевидно, включает два ребра, и степень этой вершины равна 2k , т.е. четна, так как x выбрана произвольно, то все вершины в графе G имеют четную сте­пень.

Достаточность. Воспользуемся индукцией по числу m ребер графа. Эйле­ровы циклы для обычных (не псевдо) графов можно построить начиная с m =3.Легко проверить, что единственный граф с m =3, имеющий все вершины с четными степенями, есть граф K ₃ (рис. 2). Существование эйлерова цикла в нем очевидно. Таким образом, для m =3 достаточность условий доказываемой теоремы имеет место. Пусть теперь граф G имеет m >3 ребер, и пусть утверждение справедливо для всех связных графов, имеющих меньше, чем m ребер. Зафиксируем произвольную вершину a графа G и будем искать простой цикл, идущий из a в a . Пусть m(a , x ) — простая цепь, иду­щая из a в некоторую вершину x . Если x ¹a , то цепь m можно продолжить из вершины x в некотором направлении. Через некоторое число таких про­дол­­же­ний мы придем в вершину z ÎX , из которой нельзя продлить полу­чен­ную про­стую цепь. Легко видеть, что z = a так как из всех остальных вершин цепь может выйти (четные степени!); a в a она начиналась. Таким образом, нами построен цикл m, идущий из a в a . Предположим, что построенный про­стой цикл не содержит всех ребер графа G . Удалим ребра, входящие в цикл m, из графа G и рассмотрим полученный граф . В графе все вершины имеют четные степени. Пусть — компо­нен­ты связ­нос­ти графа , содержащие хотя бы по одному ребру. Соглас­но пред­поло­же­нию индукции все эти компоненты обладают эйлеровыми циклами m₁ , m₁ , …, m_k соот­вет­ствен­но. Так как граф G связан, то цепь m встре­чает каждую из компонент. Пусть первые встречи цикла m с ком­понентами происходят соответственно в вершинах x ₁ , x ₂ , …, x_k . Тогда про­стая цепь

n(a , a )=m(a , x ₁ ) Um₁ (x ₁ , x ₁ ) Um(x ₁ , x ₂ ) U…Um_k (x_k , x_k ) Um(x_k , a )

является эйлеровым циклом в графе G . Теорема доказана.

Замечание. Очевидно, что приведенное доказательство будет верно и для псевдографов, содержащих петли и кратные ребра (см. рис. 1,а).

Таким образом, задача о кенигсбергских мостах не имеет ре­ше­ния, так как соответствующий граф (см. рис. 1,б) не имеет эйлерова цикла из-за не­четности степеней все вершин.

Отметим, что из существования эйле­ро­ва цикла в неориентированном графе G не следует связность этого графа. Напри­мер, неориентированный граф G на рис. 3 обладает эйлеровым циклом и вместе с тем несвязен.

Совершенно также, как теорема 1, могут быть доказаны следующие два утверждения.

Теорема 2. Связный неориентированный граф G обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени в нем равно 0 или 2, причем если это число равно нулю, то эйлерова цепь будет являться и циклом.

Теорема 3. Сильно связный орграф G (X , E ) обладает эйлеровым кон­ту­ром тогда и только тогда, когда для любой вершины x ÎX выполняется

.

Можно также обобщить задачу, которую решал Эйлер следующим обра­зом. Будем говорить что множество не пересекающихся по ребрам простых цепей графа G покрывает его, если все ребра графа G включены в цепи m_i . Нужно найти наименьшее количество таких цепей, которыми можно покрыть заданный граф G .

Если граф G — эйлеров, то очевидно, что это число равно 1. Пусть теперь G не является эйлеровым графом. Обозначим через k число его вер­шин нечетной степени. По теореме … k четно. Очевидно, что каждая верши­на нечетной степени должна быть концом хотя бы одной из покрывающих G цепей m_i . Следовательно, таких цепей будет не менее чем k /2. С другой сто­роны, таким количеством цепей граф G покрыть можно. Чтобы убедиться в этом, расширим G до нового графа , добавив k /2 ребер , соединяющих раз­личные пары вершин нечетной степени. Тогда оказывается эйлеровым графом и имеет эйлеров цикл . После удаления из ребер граф разло­жится на k /2 цепей, покрывающих G . Таким образом, доказана.

Теорема 4. Пусть G — связный граф с k >0 вершинами нечетной степени. Тогда минимальное число непересекающихся по ребрам простых цепей, покрывающих G , равно k /2.

Алгоритм построения эйлерова цикла

Для начала отметим, что теорема 1 также дает метод построения эйлерова цикла. Здесь мы рассмотрим несколько иной алгоритм.

Пусть G (X , E ) — связный неорентированный граф, не имеющий вершин нечетной степени. Назовем мостом такое ребро, удаление которого из связного графа разбивает этот граф на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру.

1°. Пусть a — произвольная вершина графа G . Возьмем любое ребро e ₁ =(a , x ₁ ) , инцидентное вершине a, и положим m = {e ₁ }.

2°. Рассмотрим подграф G ₁ (X , E\ m₁ ). Возьмем в качестве e ₂ ребро, инци­дентное вершине x ₁ и неинцидентное вершине a , которое также не является мостом в подграфе G ₁ (если такое ребро e ₂ существует!). Получим простую цепь m₂ = {e ₁ , e ₂ }.

3°. Пусть e ₂ = (x ₁ , x ₂ ), x ¹a . Рассмотрим подграф G ₂ (X , E\ m₂ ) и удалим из него все изо­лированные вер­шины. В полученном подграфе выберем ребро e ₃ ÎE \ m₂ , инцидентное вершине a , которое не является мостом в под­графе (если такое ребро e ₃ суще­ству­ет!). Получим простую цепь

m₃ = {e ₁ , e ₂ , e ₃ }.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--