Реферат: Построение прямоугольной системы координат
Рассмотрим две важные задачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методом координат.
Задача 1. Расстояние между двумя точками на плоскости.
На плоскости даны две точки М 1 (х 1 ; у 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ) . Найдем расстояние между ними d . Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.
Рис. 3
Через точки М 1 и М 2 проведем отрезки М 1 k çç 0х ; М 2 k çç 0y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник D М 1 М 2 k . Его катеты М 1 k = х 2 – х 1 ; М 2 k = у 2 – у 1 .
По теореме Пифагора: 
.
Получим формулу 
(1)
ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.
Известны координаты концов отрезка М 1 М 2 -М 1 ( х 1 ; у 1 ) и М 2 ( х 2 ; у 2 ) . Найдем координаты точки М , являющейся серединой отрезка.
Выполним чертеж, расположив точки в первой четверти.
Рис. 4
Обозначим искомые координаты точки М ( х ; у ). М – середина отрезка М 1 М 2 , т.е.М 1 М = ММ 2 . Спроектируем точки М 1 , М 2 и М на ось 0х , получим там точки р 1 , р 2 , р . Из геометрии известно, что р 1 р = рр 2 . Выразим эти отрезки через координаты:
р 1 р = х – х 1 ; рр 2 = х 2 – х
Получим: х – х 1 = х 2 – х
Выразим х : 2х = х 2 + х 1 Þ
.
Проектируя точки на ось 0у аналогично получим: 
.
Формулы 
(2)
позволяют находить координаты середины отрезка.
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.
Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.
Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р , называемый полярной осью.
Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)
Пусть М – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом 0 отрезком 0М .
Рис. 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол j между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М .
Будем записывать М (r ; j).
Полярный радиус принимает значения r ³0 (r = 0 для полюса!).
Полярный угол jотсчитывается от полярной оси к отрезку0М против часовой стрелки. Значения полярного угла достаточно рассматривать из промежутка 0 £j< 2p.
ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие 2p, а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И ПОЛЯРНЫМИ КООРДИНАТАМИ