Реферат: Построение прямоугольной системы координат

Формулы (2) выражают полярные координаты точки через ее прямоугольные.

Заметим, что значению тангенса, найденному по формуле в промежутке 0 £j< 2p соответствуют два значения угла j. Выбирается то значение j , которое соответствует положению точки М на координатной плоскости.

ПРИМЕР 1. Зная декартовы координаты точки М (; у = 1) , найти ее полярные координаты.

Решение. По формулам (2) получим:

.

Этому значению тангенса соответствуют два значения угла . Т.к. точка лежит в I четверти берем .

Значит полярные координаты точки .

ПРИМЕР 2. Записать в полярных координатах уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а .

Решение. Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а в декартовых координатах имеет вид: х ² + у ² = а ² .

Подставим вместо х , у их выражение через полярные координаты по формулам (1) . Получим (r cos j )² +(r sin j )² = a ² .

r ² (cos² j +sin² j ) = a ² Þ r ² = a ² Þ r = a.

Получим r = а – полярное уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а .

Предположим, что полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат 0ху , а полярная ось совпадает с положительной полуосью 0х.

Рис. 6

1. Переход от полярных координат к прямоугольным.

Пусть известны полярные координаты произвольной точки М (r ; j). х = 0 K , y = MK - прямоугольные координаты точки М . Из чертежа на рис.6 из прямоугольного треугольника ОМК получим:

(3)

Формулы (3) выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

2. Переход от прямоугольных координат к полярным.

Из прямоугольного треугольника ОАМ получаем по теореме Пифагора:

Из того же треугольника имеем:

(4)

Отметим, что полярные координаты, наряду с прямоугольными, широко используется в топографии для определения положения объектов на местности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На лекции рассмотрен предмет математики, некоторые исторические сведения. Новым вопросом является понятие полярных координат, которые находят широкое применение на практике. Характерно, что прямоугольные и полярные координаты часто используют одновременно, поэтому важно усвоить связь между ними. Курсантам рекомендуется при изучении материала лекции подготовить ответы на предлагаемые далее вопросы.

доцент Смирнова А.И.

"____" __________ 2004 г.