Реферат: Практикум по предмету Математические методы и модели

где R_jl – алгебраическое дополнение элемента r₁₂ матрицы R .

Множественный коэффициент корреляции порядка k-1 фактора X₁ (результативного признака) определяется по формуле

r_1/2,3,…,k = r₁ =(|R ₁₂ |/R₁₁ )^0,5 ,

где |R ₁₂ |– определитель матрицыR.

Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

t_набл =(n-l-2)^0,5 r/(1-r² )^0,5 ,

где r – оценка коэффициента, l – порядок коэффициента корреляции (число фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H₀ : r=0 отвергается с вероятностью ошибки a), если |t_набл |>t_кр , определяемого по таблицам t-распределения (Приложение 1) для заданного a иn=n-l-2.

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата – коэффициента детерминации) определяется по F-критерию. Наблюдаемое значение, например, для r² _1/2,…k , находится по формуле

F_набл = [r² _1/2,…k /(k-1)]/[(1-r² _1/2,…k )/(n-k)].

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если F_набл >F_кр (a, k-1, n-k), где F_кр определяется по таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных a, n₁ =k-1 и n₂ =n-k.

Множественный регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных x_j , рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения x_j . Предполагается, что y имеет нормальный закон распределения с условным мат. ожиданием y=j(x₁ ,x₂ ,…,x_k ), являющимся функцией от аргументов x_j , и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией s² . Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида y=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ +…+b_j x_j +…+b_k x_k , линейные относительно неизвестных параметров b_j (j=0,1,…,k) и аргументов x_j .

Коэффициент регрессии b_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную x_j увеличить на единицу ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y =X b +e ,

где Y – случайный вектор-столбец размерности [n´1] наблюдаемых значений результативного признака (y₁ ,y₂ ,…,y_n ); X – матрица размерности [n´ (k+1)] наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы x_ij рассматривается как неслучайная величина (i=1,2,…,n; j=0,1,2,…,k; x_оi =1);b – вектор-столбец размерности [(k+1)´1] неизвестных коэффициентов регрессии модели; e – случайный вектор-столбец размерности [n´1] ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым мат. ожиданием и неизвестной дисперсией. На практике рекомендуется, чтобы n превышало k как минимум в три раза.

Находится оценка уравнения регрессии вида

y*=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ +…+b_j x_j +…+b_k x_k .

Cогласно методу наименьших квадратов вектор оценок коэффициентов регрессии определяется по формуле

b=(X^T X)^-1 X^T Y ,

где

1	x11	…	x1k	y1	b0
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
X=	1	xi1	…	xik	Y=	yi	b =	bj
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
1	xn1	…	xnk	yn	bk

X^T – транспонированная матрица X ;(X^T X)^–1 – матрица, обратная к матрице X^T X .

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора b определяется из выражения

S* (b)=S*² (X^T X )^{– 1} ,

где S*² =(Y -Xb )^T (Y -Xb )/(n-k-1).

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем

S*² _{b (j–1)} = S*² [(X^T X )^{– 1} ]_jj для j=1,2,…,k, k+1.

Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза H₀ : b=0 (b₀ =b₁ =…=b_k =0), проверяется по F-критерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле

F_набл =(Q_R /(k+1))/(Q_ост /(n-k-1)),

где Q_R =(Xb )^T (Xb ), Q_ост =(Y -Xb )^T (Y -Xb ).

По таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных a, n₁ =k+1, n₂ =n-k-1 находят F_кр .

Гипотеза H₀ отклоняется с вероятностью a, если F_набл >F_кр . Из этого следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀ : b_j =0, где j=1,2,…,k, используют t-критерий и вычисляют t_набл (b_j )=b_j /S*_{b j} .По таблице t-распределения (Приложение 1) для заданных a, n=n-k-1 находят t_кр .

Гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки a, если êt_набл ê>t_кр . Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии b_j значим, т.е. b_j ¹ 0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. После этого реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение t_набл . После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.

Для решения задачи требуется:

1. Найти оценку уравнения регрессии вида y=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ .

2. Проверить значимость уравнения регрессии при a=0,05 или a=0,01.

3. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

4. Дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и оценить адекватность полученной модели по величине абсолютных e_i и относительных d_i отклонений.