Реферат: Практикум по предмету Математические методы и модели

5. Нахождение матрицы парных коэффициентов корреляции

(на примере без исключения переменной)

а) находим вектор средних:

X _ср =(x_{1 ср} ; x_{2 ср} ; y_ср )=(7,5; 1,41; 6,14);

б) находим вектор среднеквадратических отклонений S =(s₁ ; s₂ ; s_y ) по формуле s_j =([S (x_ij - x_{j ср} )² ]/n)^0,5 , i=1…n:

S =(5,22; 0,18; 3,91);

в) формируем корреляционную матрицу

1	r12	r1y
R =	r21	1	r2y
ry1	ry2	1

где r₁₂ =r₂₁ =[(x₁ x₂ )_ср -x_1ср x_2ср ]/(s₁ s₂ ), r_yj =r_jy =[(x_j y)_ср -x_jср y_ср ]/(s_j s_y ):

1	-0,565	0,997
R =	-0,565	1	-0,612
0,997	-0,612	1

6. Расчет оценок частных коэффициентов корреляции

Оценки частных коэффициентов корреляции определяются по формулам:

r_12/y =(r₁₂ -r_1y r_2y )/[(1-r_1y ² )(1-r_2y ² )]^0,5 =0,738;

r_1y/2 =(r_1y -r₁₂ r_y2 )/[(1-r₁₂ ² )(1-r_y2 ² )]^0,5 =0,998;

r_2y/1 =(r_1y -r₁₂ r_y2 )/[(1-r₁₂ ² )(1-r_y2 ² )]^0,5 =-0,762.

Составим матрицу частных коэффициентов корреляции:

1	0,738	0,998
0,738	1	–0,762
0,998	–0,762	1

Следует иметь в виду, что частный коэффициент корреляции может резко отличаться от соответствующего парного коэффициента и даже иметь противоположный знак. Любой из частных коэффициентов может быть равен нулю, в то время, как парный – отличен от нуля.

В данном примере r_12/y =0,738, а r₁₂ =-0,565. Такое различие вызвано тесной связью объема валовой продукции (x₁ ) и себестоимостью товарной продукции (y): r_1y =0,997. В случае независимости величин частный и парный коэффициенты корреляции равны нулю.

7. Проверка значимости парных и частных

коэффициентов корреляции

Проверка осуществляется с помощью таблиц t-распределения Стьюдента.

Для r₁₂ : |t_набл |=|(10-2)^0,5 (-0,565)/(1-(-0,565)² )^0,5 |=1,93683<t_{кр (8;0,05)} =2,306; гипотеза H₀ : r₁₂ =0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (|t_набл |=1,93683>t_{кр (8;0,1)} =1,86).

Для r_2y : |t_набл |=|(10-2)^0,5 (-0,612)/(1-(-0,612)² )^0,5 |=2,20621<t_{кр (8;0,05)} =2,306; гипотеза H₀ : r_2y =0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (|t_набл |=1,93683 > t_{кр (8;0,1)} =1,86).

Для r_1y : |t_набл |=|(10-2)^0,5 0,997/(1-0,997² )^0,5 |=36,43263>t_{кр (8;0,05)} =2,306; гипотеза H₀ : r_1y =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_12/y : |t_набл |=|(n-3)^0,5 0,738/(1-0,738² )^0,5 |=2,893542>t_{кр (7;0,05)} =2,365; гипотеза H₀ : r_12/y =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_1y/2 : |t_набл |=|(n-3)^0,5 0,998/(1-0,998² )^0,5 |=41,77023>t_{кр (7;0,05)} =2,365; гипотеза H₀ : r_1y/2 =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_2y/1 : |t_набл |=|(n-3)^0,5 (-0,762)/(1-(-0,762)² )^0,5 |=3,11324>t_{кр (7;0,05)} =2,365; гипотеза H₀ : r_2y/1 =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

8. Расчет оценок множественных коэффициентов

корреляции и детерминации

Оценки множественных коэффициентов корреляции детерминации рассчитываются по формулам:

r_y/12 = (r_y1 ² + r_y2 ² + 2r_y1 r_y2 r₁₂ )/(1-r₁₂ ² )(1-r_y2 ² )]^0,5 =0,999;

r_y/12 ² =0,999² =0,997.

9. Проверка значимости множественных коэффициентов

корреляции и детерминации

Проверим гипотезу H₀ : r² _y/12 =0 по F-критерию. Наблюдаемое значение находится по формуле:

F_набл = [r² _y/12 /(k-1)]/[(1-r_y/12 )/(n-k)]=[0,997/(3-1)]/[(1-0,997)/(10-3)]=1163.

По таблице F-распределения для a=0,05, n₁ =k-1=2, n₂ =n-k=7 находим F_кр =4,74. Так как F_набл >F_кр , то гипотеза о равенстве r² _y/12 =0 отвергается.

Аналогично осуществляется проверка гипотезы r_y/12 =0 (в данном примере опущено).

Тем самым доказана значимость множественного коэффициента корреляции, что говорит о наличии зависимости y от x₁ и x₂ , т.е. себестоимость действительно зависит от объема валовой продукции и производительности труда.