Реферат: Практикум по предмету Математические методы и модели

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей.–М.:Финансы и статистика, 1985

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных.–М.:Финансы и статистика, 1983

3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.–М.:Высш.шк., 1988.

4. Шепелев И.Г. Математические методы и модели управления в строительстве.–М.:Высшая школа, 1980.

Задача 2

Динамическое программирование

Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой тремя предприятиями, выделены капитальные вложения в объеме 700 млн.руб. Использование i-тым предприятием x_i млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции f_i (x_i ).

Найти распределение капитальных вложений между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпус6ка продукции.

Исходные данные приведены в таблицах 5 и 6.

Таблица 5

Исходные данные

Объем кап.вложений xi , млн.руб.	Прирост выпуска продукции fi (xi ), млн.руб.
Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
0	0	0	0
100	а	50	40
200	50	80	d
300	b	90	110
400	110	150	120
500	170	с	180
600	180	210	220
700	210	220	240

Таблица 6

Варианты исходных данных

Вариант	a	b	c	d
1	30	90	190	50
2	20	80	160	70
3	35	100	190	60
4	40	110	180	90
5	30	100	190	60

Окончание табл. 6

Вариант	a	b	c	d
6	35	80	160	70
7	40	80	160	70
8	40	100	190	60
9	30	110	160	90
10	40	110	190	90
11	20	100	190	60
12	20	80	180	60
13	35	110	190	50
14	40	90	160	50
15	30	90	190	90
16	35	90	160	70
17	40	90	190	50
18	20	90	150	90
19	20	80	190	60
20	20	110	160	70
21	40	90	190	60
22	30	110	190	55
23	35	90	180	70
24	45	85	170	90
25	40	85	170	50

В задаче необходимо:

1. Составить рекуррентное соотношение Беллмана в виде функциональных уравнений.

2. Используя рекуррентные соотношения и исходные данные определить сначала условно оптимальные, а затем оптимальные распределения капиталовложений между предприятиями.

Методические указания к решению задачи 2

Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выйгрыш на данном шаге плюс оптимальный выйгрыш на всех последующих шагах был максимальным.

Общая последовательность решения задач динамического программирования следующая.

1. Выбрать способ описания процесса, т.е. параметры, характеризующие состояние системы, фазовое пространство и способ членения операции на шаги.

2. Записать выигрыш w_i на i-том шаге в зависимости от состояния системы S вначале этого шага и управления U_i :

w_i = w_i (S, U_i )

3. Записать для i-того шага функцию выражающую изменение состояния системы от S к S’под влиянием управления U_i :

S’=j(S, U_i ).

4. Записать основное функциональное уравнение, выражающее функцию W_i (S) через W_i+1 (S):

W_i (S)=max_{U i} {w_i (S, U_i )+W_i+1 (j_i (S, U_i ))}

5. Найти функцию W_m (S)=max_{U m} {w_m (S, U_m )} – условный оптимальный выйгрыш для последнего шага (максимум берется только по тем направлениям, которые приводят систему в заданную область конечных состояний S*_w ) и соответствующее ей условное оптимальное управление на последнем шаге U_m (S).

6. Зная W_m (S) и пользуясь уравнением из п.4, при конкретном виде функций w_i (S, U_i ), j_i (S, U_i ), найти одну за другой функции:

W_m-1 (S), W_m-2 (S), … , W₁ (S)

и соответствующие им условные оптимальные управления:

U_m-1 (S), U_m-2 (S), … , U₁ (S).

7. Если начальное состояние системы S₀ задано, то найти оптимаьный выйгрыш W_max (S₀ ), и далее безусловные оптимальные управления (и, при необходимости, конечное состояние системы) по цепочке:

S₀ ®U₁ (S₀ )®S*₁ ® U₂ (S*₁ )®S*₂ ® U₃ (S*₂ )®…®S*_m-1 ® U_m (S*_m-1 )®S*_m .

8. Если начальное состояние S₀ не задано, а ограничено условием S₀ ÎS₀ , тонайти оптимальное начальное состояние, при котором выйгрыш достигнет максимума и далее по цепочке, безусловные оптимальные управления.

В данной задаче вместо того, чтобы рассматривать допустимые варианты распределения капиталовложений между n предприятиями и оценивать их эффективность, необходимо исследовать эффективность вложения средств на одном предприятии, на двух предприятиях и т.д., наконец, на n предприятиях. Таким образом получим n этапов, на каждом из которых состояние системы (3 предприятия) описывается объемом средств, подлежащих освоению k предприятиями (k=1¸n). Управлениями будут являться решения об объемах капиталовложений, выделяемых k-тому предприятию.

Литература к задаче 2

1. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.– М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1988.

2. Вентцель Е.С. Основы исследования операций.– М.: Советское радио, 1972.

3. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования.– Минск:Изд-во БГУ,1975.