Реферат: Практикум по предмету Математические методы и модели

6. Построить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.

7. Найти множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

8. Проверить значимость частных и множественных коэффициентов корреляции.

9. Провести содержательный экономический анализ полученных результатов.

Пример решения задачи 1

По данным годовых отчетов десяти (n=10) предприятий (табл.4) провести анализ зависимости себестоимости товарной продукции y (млн. р.) от объема валовой продукции x₁ (млн. р.) и производительности труда x₂ (тыс. р. на чел.).

Таблица 4

Исходная информация для анализа и результаты расчета

Исходная информация			Результаты расчета
№	xi1	xi2	yi	y*i	(y*i )2	ei =yi -y*i	(ei )2	di = ei / y*i
1	3	1,8	2,1	2,31572	5,36255	-0,21572	0,04653	-0,09315
2	4	1,5	2,8	3,48755	12,16300	-0,68755	0,47273	-0,19714
3	5	1,4	3,2	4,35777	18,99015	-1,15777	1,34043	-0,26568
4	5	1,3	4,5	4,50907	20,33171	-0,00907	0,00008	-0,00201
5	5	1,3	4,8	4,50907	20,33171	0,29093	0,08464	0,064521
6	5	1,5	4,9	4,20647	17,69439	0,69353	0,48098	0,164872
7	6	1,6	5,5	4,77408	22,79184	0,72592	0,52696	0,152054

Окончание табл. 4

Исходная информация			Результаты расчета
№	xi1	xi2	yi	y*i	(y*i )2	ei =yi -y*i	(ei )2	di = ei / y*i
8	7	1,2	6,5	6,09821	37,18816	0,40179	0,16144	0,065887
9	15	1,3	12,1	11,6982	136,84905	0,40175	0,16140	0,034343
10	20	1,2	15,0	15,4441	238,52177	-0,44415	0,19727	-0,02876
Сред. знач.			S =	530,22437	S =	3,47247
7,5	1,41	6,14
y*i – значения, вычисленные по уравнению регрессии
ei – абсолютные ошибки аппроксимации
di – относительные ошибки аппроксимации

Решение

1. Определение вектора b оценок коэффициентов

уравнения регрессии

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии y*=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ производится по уравнению b=(X^T X)^–1 X^T Y :

n	S xi1	S xi2	10	75	14,1
XT X =	S xi1	S x2 i1	S xi1 xi2	=	75	835	100,4
S xi2	S xi1 xi2	S x2 i2	14,1	100,4	20,21

S yi	61,4	b0	2,88142
XT Y =	S xi1 yi	=	664,5	b =	b1	=	0,71892
S xi2 yi	82,23	b2	-1,51303

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид

y*=2,88142+0,71892x₁ -1,51303x₂ .

2. Проверка значимости уравнения y*=2,88142+0,71892x₁ -1,51303x₂ .

а) Q_R =(Xb )^T (Xb )=S y*_i =530,224365;

б) Q_ост =(Y -Xb )^T (Y -Xb )=S e² _i =3,472465;

в) несмещенная оценка остаточной дисперсии:

S*² = Q_ост /(n-3)=3,472465 / 7 = 0,496066;

г) оценка среднеквадратичного отклонения:

S*= 0,7043195;

д) проверяем на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀ : b=0 (b₀ =b₁ =b₂ =0). Для этого вычисляем

F_набл =(Q_R /(k+1))/(Q_ост /(n-k-1))=(530,224365 / 3))/(3,472465 / 7))=356,32776.

Далее по таблице F-распределения для a=0,05, n₁ =k+1=3, n₂ =n-k-1=7 находим F_кр =4,35. Так как F_набл >F_кр (356,32776>4,35), то гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки 0,05. Т.о. уравнение является значимым.

3. Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии

а) Найдем оценку ковариационной матрицы вектора b :

5,52259	-0,08136	-3,44878
S* (b)=S*2 (XT X )– 1 =0,496066(XT X )– 1 =	-0,08136	0,00267	0,04348
-3,44878	0,04348	2,21466

Так как на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов уравнения регрессии, то получим следующие несмещенные оценки этих дисперсий:

S*² _{b 0} =5,52259; S*² _{b 1} =0,00267; S*² _{b 0} =2,21466;

S*_{b 0} =2,35002; S*_{b 1} =0,05171; S*_{b 2} =1,48818.

Найдем оценку корреляционной матрицы вектора b . Элементы этой матрицы определяются по формуле:

r_j-1l-1 =cov*(b_j-1 ,b_l-1 )/(S*_{b j-1} S*_{b l-1} ),

где cov*(b_j-1 ,b_l-1 ) – элементы матрицы S* (b), стоящие на пересечении j-той строки и l -того столбца ( j,l =1,2,3).

Корреляционная матрица вектора b имеет вид:

1	-0,66955	-0,98614
R* (b)=	-0,66955	1	0,56504
-0,98614	0,56504	1

Далее, для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀ : b_m =0 (m=1,2), по таблицам t-распределения для a=0,05, n=7 находим t_кр =2,365. Вычисляем t_набл для каждого из коэффициентов регрессии по формуле t_набл (b_j )=b_j /S*_{b j} :

t_набл (b₁ )=b₁ /S*_{b 1} =0,71892/0,05171=13,903

t_набл (b₂ )=b₂ /S*_{b 2} =1,51303/1,48818=1,01667.

Так как t_набл (b₁ ) > t_кр (13,903 > 2,365), t_набл (b₂ ) < t_кр (1,01667< 2,365), то коэффициент регрессии b₁ ¹0, а коэффициент регрессии b₂ =0. Следовательно переходим к алгоритму пошагового регрессионного анализа.

4. Пошаговый регрессионный анализ

Будем рассматривать оценку нового уравнения регрессии вида

y*=b’₀ +b’₁ x₁ . Вектор оценок b’ определим по формуле b=(X^T ¢ X ¢ )^–1 X^T ¢ Y , где

n	S xi1	10	75
XT ¢X¢=	S xi1	S x2 i1	=	75	835

S yi	61,4	b’0	0,52534
XT ¢Y¢=	S xi yi	=	664,5	b¢=	b’1	=	0,74861

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид:

y*=0,52534+0,74861x₁ .