Реферат: Проективная геометрия

1.5. Через каждые три точки А, B, C не лежащие на одной прямой, проходит не более одной плоскости.

1.6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости a , то каждая точка прямой а лежит в плоскости a .

1.7. Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку.

1.8. Имеется не менее четырех точек, не лежащих на одной плоскости.

1.9. Каждые две прямые, расположенные в одной плоскости имеют общую точку.

Эти аксиомы повторяют аксиомы обычной евклидовой геометрии за исключением пункта 1.9 , которого там нет.

2.Аксиомы порядка:

В элементарной геометрии в основу определения порядка следования точек на прямой заложено понятие о расположении точки между двумя другими точками. Т. е. если есть две точки А и В то обязательно найдется точка С на прямой А В, лежащая между А и В.

Такой порядок расположения точек является основой введения координат точек на прямой (в дальнейшем на плоскости и в пространстве), т.е. позволяет сделать отображение взаимного расположения точек на множество действительных чисел, ввести единицу измерения.

В проективной геометрии прямая есть замкнутая в бесконечности линия, поэтому нельзя в определение порядка положить принцип: что при заданных А и В найдется точка С между ними, определяющая порядок следования точек на прямой как А, В, C. И все-таки, какое-то определение порядка точек на проективной прямой необходимо сделать хотя бы для введения ней системы координат, определения проекции фигур в вычислительной геометрии или машинной графике.

На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было характеризовать одним числом, одной координатой, отсчитываемой в некотором масштабе от точки, принятой за ноль. Так как в проективной геометрии бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой, то уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно удаленной точки.

Здесь уже, на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного расположения двух пар точек.

Пусть A и B, C и D две пары точек, расположенные на проективной прямой (рис.5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары, т.е. CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то момент с т. A или т. B. Аналогично, чтобы совместить B с A, при движении точки B она когда-нибудь совпадет с C или D. В таком случае говорят, что пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы порядка и введения координат на проективной прямой.

2.1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U, на этой прямой существует такая точка D, что пара A, B разделяет пару C, D.

2.2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B.

2.3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные пары.

Аксиомы 2.4 , 2.5 касаются взаимного расположения пяти точек. Если пары С,D и C, E разделяют A, B, то D E не разделяет A, В (рис.6). Если C, D и C, E не разделяют A, B, то D, E не разделяет A, B(рис.7).

2.6. Пусть A, B и C, D две пары точек прямой U, A^/ , B^/ и C^/ , D^/ их проекции из какого угодно центра на произвольную другую прямую U^/ . Тогда если пары A, B и C, D разделяют друг друга, то пары A^/ , B^/ и C^/ , D^/ тоже разделяют друг друга.

Таким образом, разделенность двух пар точек есть свойство, инвариантное относительно проектирования. Это один из инвариантов проективной геометрии .

Это свойство позволяет упорядочивать точки на прямой. Так если дан отрезок АВ на проективной прямой, то множество его внутренних точек можно упорядочить так: точка M предшествует точке N, если пара A, N разделяет пару M, B (рис.8).

Две произвольные точки А, В проективной прямой U разделяют ее на два отрезка(рис.9). Чтобы отличить один из двух рассматриваемых отрезков от другого, нужно указать какую-нибудь его точку. Поэтому в проективной геометрии отрезок иногда обозначается тремя буквами. Например отрезок A С В обозначают отрезок с концами А, В и внутренней точкой С. Если точка D принадлежит другому отрезку то его можно обозначить А D В. Как легко видеть, пара точек А, В разделяет пару точек С, D. Отрезки А C В и A D B называются дополнительными друг к другу.

Мы рассмотрели, как вести порядок точек на каком-либо отрезке проективной прямой. Точки М, N , принадлежащие отрезку А В упорядочены так, что точка М предшествует точки N, если пара А, N разделяет пару M, B.

Чтобы это распространить на все точки отрезка А, В надо показать выполнение условия транзитивности: т.е. если точка М предшествует точке N, точка N предшествует точка Р, то точка М предшествует точке Р, т. е. надо показать, что пара АР разделяет пару M, B. Т. к. А, N разделяет пару М, В, то точка М лежит на отрезка А M N.

Т. к. A, P разделяет N, B, то точка N лежит на отрезке A N P, таким образом весь отрезок A M N лежит внутри отрезка A N P и т. о. точка М предшествует Р(рис.10).

Для дальнейшего введения системы координат на проективной прямой нам понадобится понятие гармонически сопряжённых пар точек. Для их определения рассматривается проективные понятия трёхвершинника и четырёхвершинника. Условимся называть трёхвершинником совокупность трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх прямых, попарно соединяющих эти точки (рис. 12).

Точки A, B, C назовём вершинами, прямые a, b, c сторонами трёхвершинника. Рассмотрим второй трёхвершинник A^/ , B^/ , C^/ . Для доказательств многих теорем проективной геометрии используется теорема Дезарга (являющаяся основной теоремой проективной геометрии). Сформулируем её: ”Если соответственные стороны трёх вершинников ABC и A^/ B^/ C^/ (т. е. AB и A^/ B^/ , BC и B^/ C^/ , AC и A^/ C^/ ) пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины сходятся в одной точке (O)”. Справедлива и обратная теорема Дезарга : ”Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух трёхвершинников ABC и A^/ B^/ C^/ сходятся в одной точке, то соответственные стороны пересекаются в точках лежащих на одной прямой”. Обычно прямую u ,где расположены точки пересечения соответствующих сторон, называют осью преспективы, а точку, в которой сходятся прямые, соединяющие соответствующие вершины называют центром перспективы. Тогда обе теоремы Дезарга сформулируются одним утверждением: ”Если два трёхвершинника имеют ось перспективы, то они имеют и центр перспективы и обратно”.

Определение : Плоская фигура, составленная четырьмя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и шестью прямыми, соединяющими попарно эти точки называется полным четырёхвершинником.

Указанные стороны называются вершинами, прямые- сторонами четырёхвершинника. Вершины - A, B, C, D. Стороны- a, b, c, d, s, t (рис. 13).

Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. Это a и d , b и c , s и t . Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками четырёхвершинника. Здесь это точки P, Q, R. При помощи полного четырёхвершинника определяется понятие гармонически сопряжённых пар точек.

Определение : Пару точек S и T произвольной прямой и называют гармонически сопряжённой с парой точек P и Q этой же прямой, если P и Q суть диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки S и T есть точки пересечения этой прямой с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника, проходящими через третью диагональную точку.