Реферат: Проективная геометрия

1) х₃ =0;

2) Из двух чисел х₁ , х₂ хотя бы одно отлично от нуля;

3) Отношение х₁ /х₂ равно В/ (-А), где А и В - коэффициенты любой прямой Ах+Ву+С=0, проходящей через точку М_ .

Если в уравнение прямой Ах+Ву+С=0 подставить однородные координаты некоторой точки М, лежащей на прямой (х=х₁ /х₃ , у=х₂ /х₃ ), то получим : Ах₁ +Вх₂ +Сх₃ =0, или иногда его записывают как:

u₁ x₁ +u₂ x₂ +u₃ x₃ = 0 - уравнение прямой в однородном виде (нет свободного члена)

Свойства однородных координат на плоскости:

1) Каждая точка проективной плоскости имеет однородные координаты

2) Если х₁ , х₂ , х₃ - однородные координаты точки М, то s х₁ , s х₂ , s х₃ (где s - любое отличное от нуля число) тоже являются однородными координатами точки М.

3) Разным точкам соответствуют разные отношения х₁ / х₃ , х₂ / х₃ их однородных координат.

Подходящим выбором s одну из координат можно сделать равной 1.Например, точка О - начало координат, получает однородные координаты (0,0,1), точка Ґ_х - (1, 0, 0), точка Ґ_у - (0,1,0), точка единиц по осям х _и у - (1,1,1). Обозначим эти точки так: А₁ (1,0,0), А₂ (0,1,0), А₃ (0,0,1), Е(1,1,1) , их называют вершинами координатного триедра. Прямая А₁ А₂ - это бесконечно удаленная прямая - она имеет в однородных координатах уравнение х₃ =0. Оси координат имеют свои обычные уравнения :

х₁ =0, х₂ =0.

Однородные координаты в трехмерном пространстве.

Вводятся аналогично первым двум случаям. Сначала определим их для всех точек, не принадлежащих плоскости Ґ (бесконечно удаленной плоскости).

Однородными координатами таких точек называются любые четыре числа х₁ , х₂ , х₃ , х₄ , не равные одновременно нулю, и такие, что х₁ /х₄ =х , х₂ /х₄ =у, х₃ /х₄ =z, где х, у, z - М. Если же точка М принадлежит плоскости Ґ , то ее однородные координаты определяются условиями : неоднородные (обычные) координаты точки:

1) х₄ =0;

2) из трех чисел х₁ , х_2, х₃ хотя бы одно отлично от нуля;

3) отношение х₁ /х₂ /х₃ равно отношению m/n/p, где m,n,p - параметры уравнения любой прямой, проходящей через точку М_Ґ (х -х₀ ) / m=(y -y₀₎ ) / n=(z -z₀ ) / p.

Аналогично уравнению прямой в однородном виде (u₁ x₁ +u₂ x₂ +u₃ x₃ +u₄ x₄ =0) можно записать уравнение плоскости в таком же виде: Ax+By+Cz+D=0 ,Ax₁ +Bx₂ +Cx₃ +Dx₄ =0 или u₁ x₁ +u₂ x₂ +u₃ x₃ +u₄ x₄ =0

Вершины координатного тетраэдра (пять точек): Ґ_x , Ґ_y , Ґ _z , 0, E

A₁ (1,0,0,0) , A₂ (0,1,0,0) , A₃ (0,0,1,0) , A₄ (0,0,0,1) , E (1,1,1,1) ..

Аналитическое представление проективных преобразований (отображений)

1. Сначала рассмотрим проективные отображения плоскости на плоскость. Что такое проективное преобразование (отображение)? Очевидно, это такое отображение, при котором сохраняются проективные свойства объекта, например такое, как разделенность двух пар точек и гармонически сопряженные пары точек. Пусть М^/ =f(M) - проективное отображение (М - прообраз в исходной плоскости a, М^/ - образ в преобразованной плоскости a^/ ). Можно доказать, что и обратное отображение М=f^-1 (M^/ ) тоже является проективным, т.е. это взаимно однозначное отображение (биективное).Т.к. все проективные свойства опираются на свойства разделенности и гармонического сопряжения двух пар четырех соответствующих элементов (точек, прямых в пучке в одной плоскости), то существует теорема , по которой проективное отображение одной плоскости в другую однозначно определяется заданием четырех пар соответствующих по отображению точек, при условии, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Показывается, что простейшим таким отображением является линейное отображение вида М(х₁ ,х₂ ,х₃ ) ® М^/ (s^/ x₁ ^/ , s^/ x₂ ^/ , s^/ x₁ ^/ )

s^/ x₁ ^/ =c₁₁ x₁ +c₁₂ x₂ +c₁₃ x₃ Числа с_{i k} определяют матрицу такого преобразования,

(1) s^/ x₂ ^/ =c₂₁ x₁ +c₂₂ x₂ +c₂₃ x₃ причем для взаимной однозначности отображения

s^/ x₃ ^/ =c₃₁ x₁ +c₃₂ x₂ +c₃₃ x₃ необходимо, чтобы определитель матрицы № 0. По указанному выше замечанию преобразование (1) однозначно определено, если заданы четыре пары соответствующих точек М₁ , М₂ , М₃ , М₄ ® М^/ _{1 ,} M^/ ₂ , M^/ ₃ , M^/ ₄ . Более того, всякое линейное отображение вида (1) , определитель которого отличен от нуля, есть проективное отображение. Проективные преобразования составляют группу: это значит, что существует тождественное проективное преобразование (единичное) , обратное к заданному, а также произведение двух проективных преобразований есть снова проективное преобразование. Пусть заданы в плоскости a четыре точки М_k (k=1,2,3,4) с проективными координатами х_{1 k} , х_{2 k} , х_{3 k} , никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четыре точки М^/ _k (k=1,2,3,4) в плоскости a^/ с проективными координатами x^/ _{1 k} , x^/ _{2 k} , x^/ _{3 k} , также никакие три из которых не лежат на одной прямой . Надо показать, что из линейных преобразований:

1)

s^/ _k x^/ _{1 k} =c₁₁ x_{1 k} +c₁₂ x_{2 k} +c₁₃ x_{3 k}

s^/ _k x^/ _{2 k} =c₂₁ x_{1 k} +c₂₂ x_{2 k} +c₂₃ x_{3 k} c №0

s^/ _k x^/ _{3 k} =c₃₁ x_{1 k} +c₃₂ x_{2 k} +c₃₃ x_{3 k}

можно однозначно найти 9 параметров с_{i k} и 3 параметра s^/ _k (k=1,2,3) , а s^/ ₄ всегда можно выбрать равным единице.

2) В трехмерном пространстве:

Каково бы ни было проективное отображение М^/ =f (M) точек пространства I на пространство I^/ , проективные однородные координаты x^/ ₁ , x^/ ₂ , x^/ ₃ , x^/ ₄ точки М^/ выражаются через проективные однородные координаты х₁ , х₂ , х₃ , х₄ точки М с помощью линейных соотношений: