Реферат: Проективная геометрия

Пусть данное отображение применяется последовательно два раза: х^/ = f(x), x^// = f(x^/ )= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента х одномерного многообразия (на прямой) выполняется соотношение x^// = f(x^/ )= х (то есть дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное отображение называется инволюционным или инволюцией . Инволюция характеризуется еще и тем, что x= f(x^/ ), т. е. обратное отображение х^/ = х совпадает с исходным х= х^/ . Найдем условие на коэффициенты в (1), при которых проективное отображение является инволюцией. Для этого из (1) выразим х через х^/ : (x ^/ - )x= -x^/ + x= -x^/ +x ^/ - (2). Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда, когда либо:

а) =-любые

б) === 0 - но это тождественное отображение, которое исключим из рассмотрения.

Таким образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного отображения х^/ = х+х-, где -^ обозначим = -^ 

Неподвижной точкой любого отображения называется точка, остающаяся неизменной после отображения. Для инволюции это означает , что х =х^/ = х+х-.

Решим последнее уравнение относительно х (3) х² -2х-= 0 - квадратное относительно х.

Это означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек не может быть больше 2.Дискреминант уравнения (3) есть ^ =-

Если -(дискриминант отрицательный), то уравнение (3) не имеет действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной точки. Такая инволюция называется эллиптической (ее условие --^ 

Если -то есть -^ то уравнение (3) имеет два действительных корня или две неподвижные точки- называется такая инволюция гиперболической.

Если то есть -^ параболическая инволюция, но в этом случае такое отображение не входят в группу проективных преобразований, так как оно не взаимно однозначно.

Существует теорема , что для однозначного определения инволюции надо задать две пары соответствующих точек на прямой, в отличии от общих формул проективного отображения прямой на прямую, где надо задать три пары точек.

Следующий инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек на прямой.

Оно определяется так :Пусть М₁ ,М₂ ,M₃ ,M₄ -четыре точки некоторой проективной прямой. Введем систему проективных неоднородных координат , и обозначим через t_1, ,t₂ ,t₃ ,t₄ , координаты заданных точек. Можно показать, что величина (t₃ -t₁ )/(t₂ -t₃ ): (t₄ -t₁ )/(t_2- -t₄ не зависит от выбора координатной системы, а определяется только положением точек на прямой.

Эта величина обозначается (М₁ М₂ M₃ M₄ )= (t₃ -t₁ )/(t₂ -t₃ ): (t₄ -t₁ )/(t_2- -t₄ ) и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ).

Непосредственным вычислением можно показать, что выполняются два свойства СОЧТ.

1) (М₁ М₂ M₃ M₄ )=(M₃ M₄ M₁ M₂ )

2) (М₁ М₂ M₃ M₄ )= 1/ (М₁ М₂ M₃