Реферат: Проективная геометрия

Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.

Теорема: Пусть ABCD и A^/ B^/ C^/ D^/ - два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q (пересечениями противоположных сторон AB и CD, A^/ B^/ и C^/ D^/ и AC и BD, A^/ C^/ и B^/ D^/ ).

Тогда, если стороны BC и B^/ C^/ этих четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то их стороны AD и A^/ D^/ пересекаются в точке T этой же прямой.

Если пара точек P и Q гармонически сопрежена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S T гармонически сопряжена с P, Q.

Т. е. эти пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной раздельности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии) (рис.14).

Т. e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P^/ , Q^/ и S^/ , T^/ .

Важной также является теорема о том, что “Взаимно гармонические пары разделяют друг друга”.

Теперь мы переходим к установлению принципа определения точек проективного пространства с помощью координат.

Построим сначала целочисленную систему координат на проективной прямой. Если эту прямую разрезать по её бесконечно удалённой точке, то множество конечных точек прямой можно упорядочить двумя различными способами(как бы по возрастанию и убыванию координат). Каждый из этих способов называется линейным порядком.

Возьмём на введённой проективной прямой a три точки из которых две помечены числами 0 и 1, а третья значком бесконечности. Точку бесконечности считаем бесконечно удалённой точкой прямой, точки 0 и 1- конечными, а прямую a - разрезанной в т. бесконечность.

Введём на прямой a линейный порядок так, чтобы т O предшествовала точке 1

Далее числом 2 пометим точку, которой вместе с точкой O составляет пару, гармонически сопряженную с парой (1, бесконечность). По известной теореме такую точку можно всегда построить и к тому же пара (O, 2) разделяет пару (1, бесконечность). Поэтому в линейном порядке т. 1 лежит между т. O и т. 2, или иначе, т. 2 следует за т. O и т. 1.

Построить т. 2 можно так: проведём через т. бесконечность прямой a две прямые, пометим их числом 1 и буквой U. Выберем на прямой u любую точку A. Проведём прямые AO и A1.

Они в пересечении с прямой 1 дадут точки (1, 0) и (1, 1). Далее проведём через т. O и (1, 1) прямую до пересечения с прямой u получим т. B. Соединим B и 1 и найдём точку пересечения прямой B1 и 1. Это точка (1,2). Проектируя эту точку на прямую a из центра A получим т. 2. Она и будет той четвёртой точкой в гармонически сопряжённых парах O, 2 и 1, бесконечность. Это можно показать, рассмотрев четырёхвершинник A, B, (1, 1), (1, 2).

Далее процесс построения аналогичный. Проектируя точку 2 на прямую 1 из т. B получим точку (1, 3). Проектируя последнюю на прямую a из точки A получим т.4 и т. д.

Аналогично можно получить точки, помеченные отрицательными числами. Так мы выстроили шкалу для определения целочисленных координат точек на прямой. Далее мы начинаем дробить отрезки и находить сначала координаты типа Z= (X+ Y)/2.

Оказывается, что точки Z, бесконечность составляют гармоническую пару с X, Y. Сама точка Z называется проективным центром отрезка (X, Y). Дробя далее отрезки можно присвоить каждой следующей дробной точке определённое число.

Таким образом, разрезанной проективной прямой получает соответствующее число, которое называют проективной координатой.

На проективной плоскости каждая точка получает две проективные координаты, в проективном пространстве- три.

До сих пор мы устраивали координатную систему на разрезанной проективной прямой, при этом одна точка, обозначаемая бесконечность, никакой координаты не получала.

Чтобы все точки получили значения, приходится употреблять “Однородные координаты”.

Рассмотрим вначале систему однородных координат на проективной прямой а .

Отметим, что любая точка М этой прямой имеет некоторую координату х, введенную так, как показано в предыдущей лекции при задании системы координат точками 0,1,При этом вполне определенную координату получает любая точка прямой, кроме точки 

Введем для точки М два числа х₁ и х₂ , не равные одновременно нулю и такие, что их отношение (х₁ /х₂ )равно х. Эти числа (х₁ ,х₂ ) будем называть однородными координатами точки М. С точкой  сопоставим однородные координаты х₁ , х₂ при условии х₂ =0.

Свойства системы однородных координат:

1) Каждая точка проективной прямой имеет однородные координаты.

2) Если х₁ , х₂ -однородные координаты т. М, то х₁ ,х₂ , где любое число, отличное от нуля, есть тоже однородные координаты т. М.

3) Разным точкам проективной прямой всегда соответствуют разные отношения их однородных координат.

Важнейшим свойством является второе: именно -каждая точка проективной прямой имеет бесконечно много пар однородных координат, которые сами по себе не определяются соответствующей им точкой, точка определяет лишь их отношение. Поэтому, подходящим подбором множителя s можно одну из координат взять равной единице (как правило -х₂ ). Выпишем теперь однородные координаты базовых точек проективной прямой - точек 0,1, обозначаемых А₁ , А₂ , А₃ . А₁ (0,1), А₂ (1,0), А₃ (1,1).

Однородные координаты па проективной плоскости