Реферат: Программа оптимизации рискового портфеля

Решая два последних уравнения по правилу Крамера, находим

l/2 = ((m¢*В^-1 *m)-m_p *(е¢*В^-1 *m))/((е¢*В^-1 *е)*(m¢*В^-1 *m)-(m¢*B^-1 *e)² )

m/2 = (m_p *(е¢*В^-1 *е)-(m¢*B^-1 *e))/((е¢*В^-1 *е)*(m¢*В^-1 *m)-(m¢*B^-1 *e)² )

Подставляя это решение в (**) получаем следующую структуру оптимального портфеля:

[(m¢*В^-1 *m)-m_p *(е¢*В^-1 *m)]*В^-1 *е + [m_p *(е¢*В^-1 *е) - (m¢*B^-1 *e)]*В^-1 *m

x* =

(е¢*В^-1 *е)*(m¢*В^-1 *m) - (m¢*B^-1 *e)²

Простой подстановкой убеждаемся, что е¢*х*=1 и m¢*х*=m_p .

Кроме того, находим минимальную дисперсию, соответствующую оптимальной структуре:

[m² _p *(е¢*В^-1 *е) – 2*m_p *(m¢*B^-1 *e) + (m¢*В^-1 *m)]

D*_p =

[(е¢*В^-1 *е)*(m¢*В^-1 *m) - (m¢*B^-1 *e)² ]

Тогда s*_p =ÖD*_p , что и является минимальным риском портфеля.

Если x*_i ≥0, то это означает рекомендацию вложить долю x*_i наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же x*_i <0, то содержательно это означает провести операцию “short sale” (“короткая продажа”).

Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не i-го вида) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше.

Математически эта операция значит, что нужно исключить этот вид ценных бумаг из рассмотрения и решить задачу заново.

Пример.

Дано: m₁ =11, s₁ =4, m₂ =10, s₂ =3, m₃ =9, s₃ =1, ценные бумаги не коррелированы. Определить оптимальный портфель при m_p =10.

Ответ: Доли ценных бумаг x₁ =0,3396; x₂ =0,3208; x₃ =0,3396. Минимальный риск s_p =1,699. Эффект диверсификации портфеля наглядно виден на данном примере. Портфель имеет такую же эффективность, как если бы он был составлен только из бумаг 2-го вида, но его риск значительно меньше, чем у бумаг 2-го вида (1,699 < 3).

Программа.

Далее приведена программа, которая рассчитывает структуру портфеля при заданной эффективности и его минимальный риск.

program riski;

uses crt;

type mas=array[1..10] of real;

mas2=array[1..10,1..10] of real;

var a:real;

m,be,bm:mas;

B,E,b1,e1:mas2;

i,k,c,v,l,j,n:integer;

mp,ebe,mbm,ebm,x,mbe:real;

procedure base;