Реферат: Пружні хвилі

Для одержання рівняння біжучої хвилі ─ залежності зміщення коливної точки пружного середовища від координати і часу ─ розглянемо плоску синусоїдальну хвилю, допустивши, що вісь х збігається з напрямком поширення хвилі (рис. 21). У даному випадку хвильові поверхні, тобто поверхні однакової фази, перпендикулярні до осі х, а тому всі точки пружного середовища на цих поверхнях коливаються однаково. Зміщення будь якої точки пружного середовища від положення рівноваги в цьому випадку залежить лише від координати х і часу t , а його величина буде дорівнювати

Розглянемо деяку точку В, якаперебуває на відстані х від джерела коливань (рис. 1). Якщо коливання точок пружного середовища, які лежать у площині х = 0 , описуються функцією U _(0,t) = A cos, то точка Впружногосередовища теж буде коливатися за тим же законом, але її коливання будуть відставати за часом від коливань джерела на τ, тому що для проходження хвилею відстані х потрібен час τ = , де – швидкість поширення хвилі. Тоді рівняння коливань частинок, які лежать у площині х, буде мати вигляд

(2)

де А – максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги; ω – циклічна частота генератора коливань джерела.

Рівняння (2) є рівняння біжучої хвилі. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то

В загальному випадку рівняння плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х , має вигляд

(3)

де А – амплітуда хвилі; ω – циклічна частота хвилі; – початкова фаза коливань, обумовлена вибором початкових значень х і t; [ω ( t - x /υ ) + φ₀ ] – фаза плоскої хвилі.

В рівнянні (3) синусоїдальний характер хвилі характеризують хвильовим числом, яке дорівнює

(4)

З врахуванням (4) рівняння (3) матиме вигляд

(5)

Рівняння хвилі, яка поширюється в сторону менших значень осі х, відрізняється від (5) тільки знаком члена k х.

Розглянемо випадок, коли в процесі хвильового руху, фаза коливань не змінюється з часом, тобто

(4.6)

Диференціюємо вираз (6) за часом, одержимо

,

звідки

Отже, швидкість υпоширення хвилі в рівнянні (6) є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, а тому її називають фазовою швидкістю .

Сферичні хвилі утворюються в однорідному і ізотропному середовищі від точкових джерел коливань. Якщо повторити хід міркувань для плоскої хвилі, можна показати, що рівняння сферичної синусоїдальної хвилі – хвилі, хвильові поверхні якої мають вигляд концентричних сфер, записується так

(7)

деr – відстань від точкового джерела сферичних хвиль до виділеної точки пружного середовища.

У випадку сферичної хвилі навіть у середовищі, яке не поглинає енергії, амплітуда коливань не залишається постійною, а зменшується з відстанню за законом Рівняння (7) має місце лише для великих r , які значно перевищуючі розміри джерела коливань (джерело коливань тут можна вважати точковим).

З рівняння (3) можна одержати, що

тобто фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від їхньої частоти. Це явище називають дисперсією хвиль , а середовище, у якому спостерігається дисперсія хвиль, називається дисперсним середовищем .

7. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль