Реферат: Пружні хвилі

Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.

Рис. 2

Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука

(8)

де Е ─ модуль Юнга; ─ відносна деформація; F ─ зовнішня сила; S ─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х .

В граничному випадку при , рівняння (8) запишеться так

(9)

Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона

(10)

Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так

(11)

Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо

(12)

де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.

Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так

m = ρ SΔx . (13)

Рис.3

З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так

(14)

Розглянувши граничний випадок при якому, з рівняння (14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням

(15)

Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі

(16)

Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (16)

(17)

Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо

(18)