Реферат: Решение систем дифференциальных уравнений
Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:
Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:
:
…
В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.
| t |
Аналитическое решение
|
Аппроксимация Падэ порядка 1
|
Аппроксимация Падэ порядка 2
|
Аппроксимация Падэ порядка 3
| ||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0.1 | 1.066 | 0.3475 | 1.0670 | 0.3483 | 1.0660 | 0.3475 | 1.066 | 0.3475 |
| 0.2 | 1.072 | -0.2023 | 1.0740 | -0.2018 | 1.0720 | -0.2023 | 1.072 | -0.2023 |
| 0.3 | 1.029 | -0.6434 | 1.0320 | -0.6440 | 1.0290 | -0.6434 | 1.029 | -0.6434 |
| 0.4 | 0.9478 | -0.9755 | 0.9513 | -0.9778 | 0.9478 | -0.9755 | 0.9478 | -0.9755 |
| 0.5 | 0.8380 | -1.203 | 0.8420 | -1.207 | 0.8380 | -1.203 | 0.8380 | -1.203 |
| 0.6 | 0.7103 | -1.335 | 0.7145 | -1.341 | 0.7102 | -1.335 | 0.7102 | -1.335 |
| 0.7 | 0.5737 | -1.383 | 0.5779 | -1.391 | 0.5737 | -1.383 | 0.5737 | -1.383 |
| 0.8 | 0.4360 | -1.360 | 0.4398 | -1.369 | 0.4360 | -1.360 | 0.4360 | -1.360 |
| 0.9 | 0.3035 | -1.280 | 0.3068 | -1.290 | 0.3035 | -1.280 | 0.3035 | -1.280 |
| 1.0 | 0.1814 | -1.156 | 0.1839 | -1.167 | 0.1814 | -1.156 | 0.1814 | -1.156 |
Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5–6-ю достоверными десятичными знаками.
Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:
.
Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h= 0.1):
.
Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:
.