Реферат: Решение уравнений в целых числах

и может иметь целые решения только в том случае, когда делится на . Таким образом, в случае - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и, сокращая (3) на , придем к уравнению

,

коэффициенты которого и взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда . Уравнение (3) перепишется так:

.

(3')

Решая это уравнение относительно, получим

.

Ясно, что будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда делится на без остатка. Но всякое целое , кратное , можно записать в виде

,

где принимает произвольные целые значения . Подставим это значение в предыдущее уравнение, тогда

,

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):

, .

Перейдем теперь к случаю .

Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа, , для которых

,

Т е о р е м а I. Пусть а и b взаимно просты и - какое-нибудь решение уравнения

,

(3)

Тогда формулы

,

(4)

при дают все решения уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств

и

получаем

; .