Реферат: Решение уравнений в целых числах

и в силу этого сами взаимно просты; , так как , что ясно из равенств (14).

Подставляя в равенства (15) - (17) , получим формулы :

, , , (18)

дающие при нечетных взаимно простых и все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел , , , удовлетворяющие уравнению (12). Простой подстановкой , и в уравнение (12) легко проверить, что при любых и числа (18) удовлетворяют этому уравнению.

Для начальных значений и формулы (18) приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

Как уже было сказано, формулы (18) дают только те решения уравнения

,

в которых числа , и не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах (18), на произвольный общий множитель .

Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.

П р и м е р II. Найдем все решения уравнения

(19)

в целых положительных попарно взаимно простых числах , , .

Заметим, что если , , есть решение уравнения (19) и , , не имеют общего делителя, отличного от 1, то они и попарно взаимно просты. Действительно, если и кратны простому числу , то из равенства

следует, так как его левая часть - целое число, что кратно . То же самое будет, если и или и делятся на .

Заметим, что должно быть числом нечетным для того, чтобы общий наибольший делитель , , был равен 1. Действительно, если четно, то левая часть уравнения (19) будет четным числом и, значит, z также будет четным. Но и будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что должно делиться на 4, другими словами, что тоже должно быть четным числом. Значит, если четно, то все числа , , должны быть четными. Итак, в решении без общего отличного от 1 делителя должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и должно быть тоже нечетным. Перенося в правую часть, мы получаем:

.

Но и имеют общим наибольшим делителем 2. Действительно, пусть их общий наибольший делитель будет . Тогда

, ,

где и - целые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь:

,.

Но и нечетны и взаимно просты. Поэтому общий наибольший делитель и будет 2. Отсюда следует, что .

Итак, или , или нечетно. Поэтому или

числа

и

взаимно просты, или взаимно просты числа

и .

В первом случае из равенства

следует, что

, ,

а во втором случае из равенства

следует

, ,

где и целые, - нечетное число и , . Решая эти две системы уравнений относительно и и находя , мы получаем или

, , или

, , ,

где нечетно. Объединяя эти две формы представления решения , , мы получаем общую формулу

, , ,

где нечетно. Но для того чтобы и были целыми числами, необходимо, чтобы было четным. Полагая и , мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах , , :

, , , (19')

где и положительны, взаимно просты и нечетно. При этих условиях величины и выбираются произвольно, но так, чтобы было положительно. Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах , , , так как, с одной стороны, мы доказали, что , , в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны, если мы зададим числа и , удовлетворяющие нашим условиям, то , , будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).

4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном и иррациональном уравнение

(20)

всегда и?