Реферат: Резистивные электрические цепи и методы их расчета

; ;

Токи остальных ветвей (элементов) выразим через межузловые напряжения и проводимости элементов.

; ;

Каждое из межузловых напряжений можно определить через соответствующие узловые напряжения, так как ; и т. д. Эти же соотношения получаются и на основании второго закона Кирхгофа. Так, из следует . Тогда:

;

Подставим теперь значения токов в исходную систему уравнений 1, 2, 3. После приведения подобных членов и переноса известных величин в правую часть получим систему уравнений для искомых узловых напряжений или систему узловых уравнений цепи:

Эта система из трех уравнений разрешима относительно трех искомых узловых напряжений. Когда узловые напряжения будут найдены, по ним вычисляются токи в ветвях и межузловые напряжения с помощью соотношений, приведенных выше.

Таким образом, в методе узловых напряжений задача расчета цепи решается путем составления уравнений, тогда как в методе токов ветвей число уравнений равно числу элементов цепи.

Произведем анализ уравнений 1-3 и выясним правила, по которым узловые уравнения можно записывать сразу, без промежуточных выкладок.

Назовем сумму проводимостей ветвей, подключенных к узлу, собственной проводимостью узла. Например, для первого узла собственная проводимость

Проводимость ветви, включенной между двумя узлами, назовем проводимостью связи или взаимной проводимостью узлов. Например, для узлов 1 и 2 взаимная проводимость .

Любое из уравнений 1-3 отвечает следующим правилам.

1. В левую часть уравнения k -го узла со знаком "плюс" входит произведение k -го узлового напряжения на собственную проводимость k -го узла; все остальные слагаемые имеют знак "минус" и являются произведениями напряжения соответствующего узла на взаимную проводимость между данными и k -м узлом.

2. В правую часть уравнения k -го узла входит алгебраическая сумма задающих токов источников, подключенных к этому узлу, причем со знаком "плюс" берутся токи, ориентированные к узлу.

Составленная по этим правилам система узловых уравнений называется "канонической", если неизвестные расположены в порядке нарастания индексов, а уравнения в соответствии с номерами узлов. Для цепи, имеющей узлов, система имеет уравнений:

Часть взаимных проводимостей цепи может быть равна нулю, если узлы не связаны между собой прямой ветвью, а имеют связь лишь через другие ветви.

Обратим внимание, что для резистивной цепи взаимные проводимости и равны и поэтому определитель системы уравнений симметричен относительно главной диагонали.

Метод узловых напряжений можно применять и для цепей, имеющих источники напряжения. В простейшем случае цепи с одним источником напряжения в качестве базисного узла принимается тот узел, к которому одним из своих зажимов подключен источник. Тогда узловое напряжение узла, к которому подключен второй зажим источника, оказывается известным: оно будет равно напряжению источника или отличаться от него знаком. Следовательно, при наличии источника напряжения число неизвестных и число необходимых уравнений сокращается.

Пример. Составить систему узловых напряжений для цепи, схема которой изображена на рис. 1.6.

Рис. 1.6.

В качестве базисного выбираем узел 0, к которому подключен источник напряжения (можно базисным считать узел 3). Вводим узловые напряжения , как показано на схеме. По правилам, сформулированным выше составляем уравнения для первого и второго узла. Уравнение для третьего узла составлять не требуется, так как его узловое напряжение известно: .

Система имеет вид:

Подставляя известное значение для и перенеся известные величины в правую часть, окончательно получим: