Реферат: Счётные множества

. . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов, стрелка указывает направление нумерации).

. . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

В результате все рациональные неотрицательные числа оказываются занумерованными, то есть мы доказали, что они образуют счётное множество.

Чтобы убедится, что и множество всех рациональных чисел также счётно, достаточно их записать в подобную же таблицу. Это можно сделать, например, поместив в написанную выше таблицу после каждого положительного рационального числа х в туже строчку число - х.

1 -1 2 -2 . . .

--. . .

--. . .

. . . . . . . . . . .

-. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

Перенумеровав элементы таблицы тем же способом, что и выше, мы получили, что множество всех рациональных чисел является счётным множество.

III. Сформулируем и докажем несколько теорем характеризующих счетные множества.

Теорема 3. Из всякого бесконечного множества Х можно выделить счетное множество Y.

Доказательство: Пусть множество Х бесконечное множество. Выделим из множества Х произвольный элемент и обозначим его х₁ . Так множество Х бесконечно, то оно не исчерпывается выделение этого элемента х₁ .и мы можем выделить элемент х₂ из оставшегося множества Х\{ х₁ }. По тем же соображениям множество Х\{ х₁ , х₂ } не пусто, и мы можем и из него выделить элемент х₃ . Ввиду бесконечности множества Х мы можем продолжать этот процесс неограниченно, в результате чего получим последовательность выделенных элементов х₁ , х₂ , х₃ , . . . , х_n , . . . , которая и образует искомое подмножество Y множества Х.

Данная теорема может натолкнуть на интересный вопрос. А в свою очередь можно ли из счётного множества выделить бесконечное подмножество, которое было так же счётным? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 4. Всякое бесконечное подмножество счётного множества так же является счётным множеством.

Доказательство: Пусть множество Х счётное множество, а множество Y его бесконечное подмножество. Следовательно, множество Х может быть представлено в виде

Х={а₁ , а₂ , а₃ , . . . , а_n ,. . .}.

Будем перебирать один за другим элементы множество Х в порядке их номеров, при этом мы время от времени будем встречать элементы множества Y, и каждый из элементов множества Y рано или поздно встретится нам. Соотнося каждому элементу множества Y номер «встречи» с ним, мы перенумеруем множество Y, причём в силу бесконечности его, нам придется на эту нумерацию израсходовать все натуральные числа. Следовательно, множество Y является счётным множеством.

Приведем пример непосредственно относящийся к этой теореме.

Пример: Множество Х={1, ,} как известно, является счётным множеством, а так как множество Y={,} является подмножеством множества Х, то по доказанной выше теоремы 3, множество Y так же является счётным.