Математика / Реферат: Счётные множества

Реферат: Счётные множества

Если мы выпишем элемент , затем оба элемента и у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем элементы у которых эта сумма равна 4, и так далее, то множество С= окажется представленной в форме последовательности:

С = { . . . },

Откуда и следует счётность множества С.

Замечание: Условие отсутствия общих элементов в теоремах 5-8 могло быть опущено.

- 5 -

V. Используя доказанные выше теорем можно привести другое доказательство теоремы 2 отличное от предыдущего.

Доказательство теоремы 2: Множество дробей вида с данным знаменателем q, то есть множество . . . , очевидно счётное. Но знаменатель может принять также

счётное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . . . Значит в силу теоремы 8, множество дробей вида является счётным множеством; удаляя из него все сократимые дроби и применяя теорему 4, убеждаемся в счётности множества всех положительных рациональных чисел R₊ . Так как множество R_- отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно множеству R₊ , то счетным является и оно, а тогда счётно и множество R, ибо R= R₊ R_- {0}.

Из теоремы 2 вытекает следующие очевидное следствие.

Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента [a, b] является счётным множеством.

Сформулируем в виде теоремы еще один пример счётного множества.

Теорема 9. Множество Р всех пар натуральных чисел является счетным множеством.

Отступление: Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа данных в определённом порядке.

Доказательство: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m. Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно

(1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1).

По этому обозначая через Р_k множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Р_k , а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством.

Теорема 10 также даёт любопытный пример счетного множества.

Теорема 10. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества D, есть счётное множество.

Доказательство: (посредствам полной математической индукции) Из предыдущей теоремы вытекает, что множество пар, составленных из элементов счётного множества D, есть счётное множество. Предположим, что доказана счётность множества S_m всех последовательностей, состоящих из m элементов данного счётного множества D. Докажем, что множество S_m ₊₁ всех последовательностей, состоящих из m+1 элементов множества D также счётно. В самом деле, пусть

D={d₁ , d₂ , . . . , d_k , . . .}.

Каждой последовательности S⁽ ^m ⁺¹⁾ =(d_i , . . , d_i , d_k )ÎS_m ₊₁ соответствует пара (S⁽ ^m ⁾ , d_k ), где S⁽ ^m ⁾ = (d_i , . . , d_i )ÎS_m , причем различным парам соответствуют различные пары этого вида. Так как множество S_m всех S⁽ ^m ⁾ счётно, и может быть записано в виде S, . . . , S, . . . , то счётно и множество всех пар (S, d_k ) (взаимно однозначно соответствующих парам натуральных чисел индексов i, k), а значит, и множество всех S⁽ ^m ⁺¹⁾ .