Реферат: Счётные множества

Следствие: Если из счётного множества Х удалить конечное подмножество Y, то оставшееся множество Х\Y будет счётным множеством.

IV. Теорема 5. Объединение конечного множества и счётного множества без общих элементов есть счётное множество.

Доказательство: Пусть дано

А={а₁ , а₂ , . . . , а_n } и В={b₁ , b₂ , b₃ , . . . },

причем АÇВ = О.

Если множество С=АÈВ, то С можно представить в форме

С={а₁ , а₂ , . . . , а_n , b₁ , b₂ , b₃ , . . . },

после чего становиться очевидной возможность перенумеровать множество, следовательно по теореме 1 получаем, что множество С счетно.

- 4 -

Теорема 6. Объединение конечного числа попарно не пересекающихся счётных множеств есть счётное множество.

Доказательство: Проведем доказательство для случая объединения трёх множеств, из контекста будет ясна полная общность рассуждения.

Пусть А, В, С три счётных множества:

А={а₁ , а₂ , а₃ , . . .}, В={b₁ , b₂ , b₃ , . . . } и

С={с₁ , с₂ , с₃ , . . .}.

Тогда множество D = АÈВÈС можно представить в форме последовательности:

D={а₁ , b₁ , c₁ , а₂ , b₂ , c₂ , а₃ , . . .},

и счётность множества D очевидна.

Теорема 7. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное множество.

Доказательство: Пусть А_k (k=1, 2, 3, . . . ) суть попарно не пересекающихся конечных множеств:

А₁ ={ . . . , };

А₂ ={. . . , };

А₃ ={ . . . ,};

. . . . . . . . . . . . . . .

Для того чтобы расположить объединение их С в форме последовательности, достаточно выписать подряд все элементы множества А₁ , а затем элементы множества А₂ и так далее.

Теорема 8. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счетное множество.

Доказательство: Пусть множества А_k (k=1, 2, 3, . . .) попарно не пересекаются и счетные. Запишем эти множества следующим образом:

А₁ ={ . . . };

А₂ ={. . . };

А₃ ={ . . . };