Реферат: Симлекс-метод

i=1, 2, .,l. (2.2.11)

Пусть i-й направляющей строке соответствует i-й направляющий столбец вследствие соответствующего выбора направляющего элемента. Тогда

aij(l)= i=1, 2, ., l. (2.2.12)

Следовательно, (2.2.11) можно записать в виде:

xi = ai0(l) - i=1, 2, ., l, (2...2.13)

причем переменные xi ( i =1, ., l) являются базисными, а переменные xj

( j=l+1, ., n) - небазисными.

При xj = 0 ( j=l+1, ., n) получим одно из базисных решений системы уравнений

xi = ai0(l), i =1, 2, ., l, xj=0; j=l+1,.,n.

Задавая для xj произвольные значения , получим полное множество решений.

Если xi - i-я компонента этого решения, то

(2.2.14)

Обозначим

x0= (a10, a20,., al0,0,.,0 )

xj= (-a1j, -a2j,., -aij, 0 ,., 0, 1, 0 ,.,0 ), 1 £ j £ n.

Тогда общее (полное) решение системы линейных уравнений определяется соотношением, аналогичным (2.2.14):

x общ = x0 + (2.2.15)

где x0- базисное решение начальной системы уравнений;

- полное решение соответствующей однородной системы уравнений (то есть при A0=0).

Обозначим расширенную матрицу системы уравнений после k-й итерации через

Ap(k)=[ai0(k), ai1(k),.,ain(k)],i=1,2,.,m.

Пусть aij(k)- направляющий элемент преобразования на (k + 1)-й итерации. Тогда в результате (k + 1)-й итерации метода полного исключения Гаусса получим матрицу Ap(k+1), элементы которой определяются следующими соотношениями:

1) для всех элементов направляющей строки

l=1, 2,.,n; (2...2.16)

2) для элементов направляющего столбца

arj(k+1)=0; r=1,.,n, причем r¹и; aij(k+1)=1; (2.2.17)

3) для всех остальных элементов матрицы

(2.2.18)

Пример 2.3. Применим метод полного исключения Гаусса для исследования системы уравнений