Коммуникации и связь / Реферат: Системы случайных величин

Реферат: Системы случайных величин

СВ X называется независимой от СВ Y , если закон распределения величины X не зависит от того, какое значение приняла СВ Y. В этом случае при любом y . Необходимо заметить, что если СВ X не зависит от СВ Y , то и СВ Y не зависит от СВ X . Для независимых СВ теорема умножения законов распределения имеет вид:

Это условие рассматривается как необходимое и достаточное условие независимости СВ. Различают понятия функциональной и статистической зависимостей. При статистической зависимости нельзя указать точно значение, которое принимает одна из СВ, если известно значение другой, можно лишь определить влияние в среднем. Но по мере увеличения взаимозависимости статистическая зависимость превращается в функциональную.

5. Числовые характеристики системы двух СВ. Коррелированность

Как и для одной СВ, для системы двух СВ можно использовать начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y ) называется МО произведения: ; .

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y ) называется МО произведения k -й и s -й степени соответствующих центрированных величин.

Для непрерывных СВ –

Первый начальный момент есть МО для соответствующей СВ X или Y .

Аналогично имеются и вторые центральные моменты системы СВ: и , которые характеризуют степень разбросанности случайной точки вдоль осей x и y соответственно.

Особую роль в статистической радиотехнике играет второй смешанный центральный момент = K_XY - корреляционный момент.

Для непрерывных СВ корреляционный момент выражается формулой

Этот момент, кроме рассеивания СВ, характеризует и взаимозависимость СВ X и Y . При этом, если СВ X и Y независимы, то . Докажем это предположение: если СВ X и Y независимы, , то последний интеграл распадается на два независимых интеграла, в которых имеется произведение двух первых центральных моментов. Эти моменты равны нулю.

Чтобы исключить влияние разбросанности СВ на корреляционный момент, его делят на произведение среднеквадратических отклонений СВ X и СВ Y. Получается безразмерная величина, имеющая название "коэффициент корреляции": . Если СВ X и СВ Y независимы, то всегда Значит, независимые СВ всегда некоррелированы, однако обратное не всегда верно. Коррелированность характеризует не всякую взаимозависимость, а лишь линейную статистическую взаимозависимость. Это означает, что при возрастании одной СВ МО другой имеет тенденцию возрастать (или убывать) в среднем по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень разбросанности координат точки относительно линейной зависимости между X и Y. Если СВ X и Y имеют линейную функциональную зависимость, то коэффициент корреляции равен ±1, в зависимости от знака наклона этой функции. При этом говорят о положительной или отрицательной корреляции.

Во многих радиотехнических устройствах имеются типовые радиотехнические тракты, состоящие из трех каскадно соединенных элементов: входной линейной цепи, нелинейного безынерционного элемента и выходной линейной цепи. В качестве этих элементов могут выступать различные электрические цепи с заданными характеристиками. На вход радиотехнического тракта воздействует аддитивная смесь сигнала и помехи:

где s (t ) - сигнал в виде гармонического или квазигармонического колебания; x (t ) - гауссов процесс с равномерной спектральной плотностью мощности (белый или квазибелый шум).

Известно [2], что в таких условиях при решении задачи обнаружения критерием качества работы устройства может служить отношение сигнал/помеха, которое определяется тремя выражениями:

система случайная величина

отношение сигнал/помеха по уровню , где A_s - амплитуда сигнала; - дисперсия шума;