Вероятность попадания координат случайной точки в ограниченное пространство n- мерной системы определяетсяn -кратным интегрированием по этому пространству плотности вероятности.

7. Числовые характеристики системы нескольких СВ

Закон распределения системы СВ (функции распределения или плотности вероятности) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких СВ. Однако не всегда возможно применять такое описание СВ. Например, из-за ограниченности экспериментального материала или из-за того, что такое описание обладает излишней громоздкостью. Кроме того, очень часто тип распределения известен (например, n- мерный нормальный). Поэтому применяют описание системы СВ с помощью ограниченного числа числовых характеристик. К таким характеристикам относятся:

N математических ожиданий (МО), характеризующих средние значения входящих в систему СВ;

N дисперсий, характеризующих степень их разбросанности относительно своих МО;

N (N - 1 ) корреляционных моментов, определяющих попарную корреляцию СВ в системе: .

Следует отметить, что корреляционный момент при i = j превращается в дисперсию, т.е. .

Часто все корреляционные моменты располагают в виде так называемой корреляционной матрицы:

.

По определению корреляционного момента, . Следовательно, корреляционная матрица всегда "симметрическая", т.е. ее элементы, симметричные относительно диагонали, равны между собой. Обозначают ее символом . Вдоль главной диагонали располагаются дисперсии. Если все СВ, входящие в систему СВ, некоррелированы, то все элементы матрицы, кроме диагональных, равны нулю. Иногда пользуются нормированной корреляционной матрицей, составленной из коэффициентов корреляции: . Если все СВ некоррелированы, то образуется единичная матрица, у которой диагональные элементы - единицы, а недиагональные - нули.

В отношении с/п = |y (t ₀ ) |/ s_{n вых} числитель должен быть максимальным в заданный момент времени, поэтому необходимо рассматривать фазовый спектр. Так как спектр представлен в виде косинусных колебаний, они должны суммироваться на выходе цепи в фазе, чтобы максимальное мгновенное значение было при t = t ₀ , т.е. j_к (w) = -j_s (w) -wt ₀ - такие требования к фазовой характеристике обеспечат заданные требования по максимизации y (t ₀ ). Модуль передаточной функции цепи должен с точностью до постоянного множителя повторять модуль спектральной плотность сигнала K (w) = AS (w). С учетом требований к фазовой характеристике цепи K (j w) = AS (w) exp [-j j_s (w)] exp (-j wt ₀ ), так как S (j w) = S (w) exp [j j_s (w)], то K (j w) = AS (j w) exp (-j wt ₀ ).

Покажем, что найденное выражение для комплексного коэффициента передачи является оптимальным в смысле максимума отношения с/п = |y (t₀ ) |/s_{n вых} . Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции, т.е. можно отдельно рассматривать прохождение сигнала и шума:

|y (t ₀ ) | = | (2p) ^{- 1/2} S (j w) K (j w) exp (-j wt ₀ ) d w|,

а s_{n вых} = [ (2p) ^-1/2 W _n (w) K ² (w) d w] ^1/2 .

Подставим полученные выражения в отношение сигнал/помеха:

|y (t ₀ ) |/s_{n вых} =

= | (2p) ^-1/2 S (j w) K (j w) exp (-j wt₀ ) d w|/ [ (2p) ^-1/2 W_n (w) K ² (w) d w] ^1/2 .

В математике существует неравенство Шварца:

|F ₁ (x ) F ₂ (x ) dx |² £ [|F ₁ (x ) |² dx ] [|F ₂ (x ) |² dx ],

где F ₁ (x ) и F ₂ (x ) - некоторые комплексные функции. Применим это неравенство для нашего случая. Тогда отношение сигнал/помеха с/п £ 1/ [ (2p) ^-1 S² (w) dw] ^1/2 . Так как Э_s = (2p) ^-1 S ² (w) d w, то с/п £ 1/. При этом значении с/п K (j w) = K _опт (j w). Это неравенство превращается в равенство при условии, что F ₂ (x ) = F ₁ (x ). Применим это условие к K (j w), получим K _опт (j w) exp (j wt ₀ ) = AS (j w), тогда K _опт (j w) = AS (j w) exp (-j wt ₀ ).

На выходе сумматора сигнал образуется таким образом: . Возведение в квадрат является нелинейной операцией, но она выполняется уже после максимизации отношения сигнал/шум на выходах линейных согласованных фильтров и влияет незначительно.

На выходах квадратурных согласованных фильтров определяются квадраты составляющих комплексной огибающей (синусной и косинусной) и складываются в сумматоре. Полученный квадрат корреляционного интеграла инвариантен к начальной фазе входного сигнала (определяется квадрат длины вектора в комплексной системе координат). Однако наличие двух каналов приводит к потерям в отношении сигнал/шум в два раза по мощности (или - 3 дБ), поскольку шум в сумматоре удваивается по дисперсии.

Таким образом, применение синтезированной структуры приводит к независимости от начальной фазы, но приводит к усложнению согласованного фильтра (надо иметь два согласованных фильтра).

8. Двумерный нормальный закон плотности вероятности

Двумерная нормальная плотность вероятности задается формулой

,

в которой и - математические ожидания СВ X и Y; и - среднеквадратические отклонения этих СВ; R - коэффициент корреляции.

Заметим, что кривые равной плотности вероятности имеют вид эллипсов:

.

На этом основании эллипсы имеют название эллипсов равных вероятностей или эллипсов рассеивания. В зависимости от знака величины R эллипсы имеют различную форму и ориентацию на плоскости x 0y. При этом главные оси эллипса пропорциональны главным среднеквадратическим отклонениям и , которые связаны со среднеквадратическими отклонениями следующими формулами: