Реферат: Сліди і базиси розширеного поля

Мультиплікативною інверсією для є

Дійсно .

Нормальний базис (НБ) над полем визначається як множина сполучених елементів поля з підходящим вибором елемента . Розглянемо далі властивості НБ над полем . На елемент тут накладається необхідна умова:. Водночас не обов'язково має бути примітивним. У будь-якому полі існує елемент зі слідом 1, тому в будь-якому полі існує і НБ. Елементи НБ можна подати -вимірними векторами.

Зазначимо, що молодший розряд НБ звичайно записується ліворуч (на відміну від поліноміального, у якому молодший розряд прийнято записувати праворуч).

Кожен наступний елемент базису є циклічним зсувом вправо попереднього. Оскільки , елемент 1 поля визначається координатами . Як бачимо, векторне подання елемента 1 поля в поліноміальному і нормальному базисах різні.

Для порівняння двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах подано в таблиці 3.

Таблиця 2 - Двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах

0	0000	0000		1011	1110
1	0001	1111		0101	0011
	0010	1001		1010	0001
	0100	1100		0111	1010
	1000	1000		1110	1101
	0011	0110		1111	0010
	0110	0101		1101	1011
	1100	0100		1001	0111

Довільний елемент поля в нормальному базисі подається як

.

Піднесення до квадрата елемента в нормальному базисі дає

Таким чином, операція піднесення до квадрата (або витягу кореня квадратного) зводиться до циклічного зсуву вправо (або вліво) векторного подання елемента. Це одне з важливих технологічних переваг нормального базису перед поліноміальним. Іншою його перевагою є простота визначення сліду елемента. Дійсно:

.

Отже, слід елемента дорівнює 0 при парній вазі його векторного подання в НБ і 1 – при непарній вазі. Ця властивість радикально спрощує визначення сліду елемента у НБ.

Наприклад: елемент у нормальному базисі має парну вагу векторного подання. Слід цього елемента дорівнює 0 Дійсно

На наступній лекції ми розглядатимемо окремо т.з. оптимальний нормальний базис, який має значні переваги у швидкості та технологічності обчислень.

Під час обчислення точок з багаторазовими операціями додавання (віднімання) і подвоєння більш продуктивними є групові операції не в афінних координатах, а різного роду проективних координатах. Це дозволяє уникнути обчислення оберненого елемента в полі як самої трудомісткої операції й заощадити тимчасові обчислювальні ресурси.

У стандартних проективних координатах проективна точка , , відповідає афінній точці Однорідне рівняння кривої після заміни змінних і множення на куб перемінної приймає вигляд

(в афінних координатах рівняння кривої має вигляд

).

Точка на нескінченності є вже одним з розв’язків даного рівняння. Зворотна точка тут, як і раніше, визначається інверсією знака координати

Подібно тому, як в афінних координатах, сумою точок і при називається точка , координати якої (позначення надалі опускається для скорочення запису) рівні:

де

Операцію підсумовування однакових точок називають подвоєнням, а координати точки дорівнюють: