Реферат: Сліди і базиси розширеного поля
Сліди і базиси розширеного поля. Подання точок кривоїу різних координатних системах. Складність арифметичних операцій у групах точок ЕК
Від ідеї створення криптосистем на еліптичних кривих () до сьогоднішнього дня поряд із криптоаналізом цих систем фахівці безупинно і плідно працюють над підвищенням ефективності
.
Насамперед це відноситься до швидкодії криптосистеми або швидкості обчислень. Одним з напрямків робіт у цій сфері було вивчення і порівняльний аналіз арифметики в поліноміальному і нормальному базисах поля .
1. Сліди і базиси розширеного поля
Операції в розширених полях вимагають введення таких понять, як слід елемента поля та базису поля.
Нехай - просте поле і
- його розширення.
Слідом елемента над полем
називається сума сполучених елементів поля
.
Зокрема, слід елемента над полем визначається сумою
.
Розширення поля Галуа є
-вимірним векторним простором над полем
. Базисом цього поля називається будь-яка множина з
лінійно незалежних елементів поля
(див. лекції з дисципліни РПЕК). Кожен елемент поля подається
-вимірним вектором з координатами з поля
(або поліномом степеня
з коефіцієнтами з
). Його також можна виразити як лінійну комбінацію векторів базису.
Теорема 1. Елементи поля
утворюють базис над полем
тоді і тільки тоді, коли визначник матриці Вандермонда
або визначник
Із множини всіляких базисів найбільш розповсюдженими є поліноміальний і нормальний базиси поля .
Поліноміальний базис, звичайно, будується за допомогою послідовних степенів примітивного елемента поля . Його назва пов'язана з тим, що при
всі операції в полі здійснюються за модулем мінімального полінома елемента
.
Примітивний елемент тут є утворюючим елементом мультиплікативної групи поля. слід базис розширений поле
Наприклад. Розглянемо поле . Елементами цього поля є 16 векторів.
Таблиця 1.
(0000) | (0001) | (0010) | (0011) | (0100) | (0101) | (0110) | (0111) |
(1000) | (1001) | (1010) | (1011) | (1100) | (1101) | (1110) | (1111) |
Використовуємо при обчисленнях поліном (незвідний)
Додавання:
(0101)+(1101) = (1000).
Множення:
(0101)×(1101) =
Піднесення до степеня:
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--