Реферат: Случайные функции

Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного процесса будет

Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков — дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и экс­перименты. Она позволяет для определения х. D, s:, вместо параллель­ного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой х{t), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бес­численными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.

Корреляционная функция

Начальный корреляционный, момент двух значений случайной функции х (t) и х (t1), взятых в моменты времент t и t1, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Она может быть найдена из выражения.

где w2 (x,t,x1, t1) — двумерная плотность вероятности.

Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корре­ляционный момент x (t) и x (t1), т.е.

В этом случае корреляционная функция может быть представ­лена в виде суммы

Корреляционная функция является весьма универсальной характери­стикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени x(t1) от предшествующего значения х (t) в момент времени t. Это есть мера связи между ними.

Рассмотрим основные свойства корреляционных функций.

1. Из определения корреляционной функции следует свойство симметрии:

2. При t1=t корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины, a R0(t,t1) —дисперсию:

3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произ­вольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дис­персии. Поэтому корреляционная функция R0 (t, t1) не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свойство не относится к функции R (t, t1), так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреля­ционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций.

Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функ­ция

Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайных величин х (t) и у (t):

В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции х (t) и у (t) называют некоррелированными.

.Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то х {t) и у {t) носят название коррелированных случайных функций.

В случае стационарности процесса корреляционные функции R (t, ti) и R0 (t, ti) не будут зависеть от текущего значения времени t и будут опре­деляться только временным сдвигом t = t1—t.

Спектральная плотность стационарных процессов

Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье. Если рассматривается неко­торая случайная функция времени х {t), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде

Возьмем квадрат модуля изображения Фурье [ F (iw)) ]2 и проинтегри­руем по всем частотам от—оо до -оо с делением результата на 2n: