Реферат: Случайные функции

Величина, находящаяся в квадратных скобках, как нетрудно видеть, является исходной функцией времени. Поэтому в результате получается так называемая формула Релея (теорема Парсеваля), которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:

Подставляя w = 2nf, получим

Правая часть представляет собой величину, пропорцио­нальную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассмат­ривается ток, протекающий по некоторому сопротивлению R, то энергия, выделившаяся в этом сопротивлении за время t, будет

Из (11.58) и (11.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматривае­мого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от —оо до +oo или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем час­тотам от—оо до +оо.

Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энер­гия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу можно представить в виде

Правая часть представляет собой средний квадрат рассматри­ваемой величины х {t). Вводя обозначение

можно переписать формулув виде

иле в виде

Величина S (w) или S (2лf) носит название спектральной плотности. Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по всем частотам от —оо до + оо дает средний квадрат исходной функции времени х (t).

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от w до w+ dw.

В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула должна быть записана в виде

где S0(w) = 2S (w) — спектральная плотность для положительных частот. Однако в дальнейшем изложении будет рассматриваться спектральная плотность, соответствующая всему диапазону частот от —оо до +-оо, так как при этом формулы получают более симметричный характер.

Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и самим процессом Отсюда вытекает, что более “широкому” графику спектральной плотности должен соответствовать более “узкий” график корреляционной функции и наоборот.

Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотношению, так как это связано с трудностью предельного перехода. Обычно

спектральная плотность вычисляется по известной кореляционной функции при помощи формул

Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки

Если на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача оптимального расчета системы с тем, чтобы получить наименьшую результирующую ошибку. С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система должна иметь воз­можно большую полосу пропускания, а с точки зрения наилучшего пода­вления помехи система, наоборот, должна иметь возможно меньшую полосу пропускания. Критерием получения оптимального решения здесь будет минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой.

Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтому ее и используют для оценки точности автоматической системы.

Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратич­ной ошибки при одновременном действии полезного сигнала и помехи.