Математика / Реферат: Спектральная теория операторов

Реферат: Спектральная теория операторов

1.2 Линейные преобразования

Определение 1.2 Графиком G(T) линейного преобразования Т называется подпространство в произведении подпространств Н₁ Н₂ , образованное по правилу

G(T) = (1.2).

Определение 1.3 Линейное преобразование Т называется замкнутым, если его график функции замкнут в Н₃ . Иначе замкнутость оператора Т можно определить так: пусть x_n D(T), x_n x, Tх_n у. Тогда x D(Т) и Тх = у.

Отметим, что, как правило, дифференциальные операторы замкнуты. Этот факт и определяет необходимость рассмотрения класса замкнутых операторов.

Определение 1.4 Линейное преобразование Т называется ограниченным, если D = Н₁ и

sup=M< (1.3).

Определение 1.5 Нормой линейного ограниченного преобразования T называется число

sup (1.4)

Линейное преобразование ограничено, если оно непрерывно в начале координат. Тогда оно непрерывно в каждой точке. Ограниченное линейное преобразование, очевидно, непрерывно.

Пусть Т₁ , Т₂ — линейные ограниченные операторы, отображающие пространство Н₁ в Н₂ . Тогда ясно, что сумма T₁ +Т₂ также является линейным ограниченным оператором. Кроме того,

(1.5)

В силу определения (T)x= Тх, где элемент поля скаляров, следовательно, оператор Т ограничен, если T ограничен. Следовательно, множество всех линейных ограниченных операторов образует линейное пространство, а норма оператора является нормой на этом пространстве. Полученное таким образом линейное нормированное пространство операторов обозначается через L(H₁ ,H₂ ). Нетрудно показать, что пространство L(H₁ ,H₂ ) полно. Действительно, если {Tn} — последовательность Коши этого пространства, то для любого элемента х пространства H₁ имеем

(1.6).

Следовательно, {T_n x} является последовательностью Коши пространства H₂ , ее предел обозначим через Тх. Очевидно, что оператор Т линеен и ограничен. Если n>N(e) и , то

+(1.7).

1.3 Сопряжённый и самосопряжённый оператор

Определение 1.6 Пусть T — линейный ограниченный оператор из H₁ в Н₂ сопряженный оператор T* (определенный на Н₂ и принимающий значения в Н.) определяется условием у = Т*х в том и только том случае, если существует вектор у такой, что [y,z] = [x,Tz] для любого z H₁ .

Определение 1.7 Пусть H₁ =H₂ =H. Оператор L c плотной областью определения, называется самосопряжённым, если L=L* [9].

2 Спектральная теория операторов

2.1 Спектр оператора

В приложениях часто возникает следующая задача: задан оператор Т, найти элемент х такой, что Тх =у, где элемент у задан. В общем случае множество решений может оказаться либо пустым, либо содержать слишком много элементов. Можно рассмотреть несколько более общую задачу: найти элемент х такой, что х—Тх=у, где — скаляр. Важность рассмотрения этой задачи обусловлена тем, что последняя тесно связана со структурой самого оператора. Возможно, что читатель имеет представление о собственных значениях и собственных векторах матрицы. Спектральная теория операторов рассматривает вопросы, связанные с этими понятиями, но уже для более широкого класса операторов. В дальнейшем гильбертовы пространства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Определение2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор, отображающий пространство Н в себя. Комплексное число называется собственным значениемоператора Т, если существует элемент х. из Н такой, что Тх = х; при этом элемент х (предполагается, что его норма равна 1) называется собственным вектором, соответствующим . Множество всех собственных значений оператора Т образует его точечный спектр [4].

Если комплексное число X не принадлежит точечному спектру оператора Т, то, безусловно, можно определить оператор (I– T)^-1 (здесь I — тождественный оператор): х = (I— Т)yв том и только том случае, если у =–Тх.

Обратный оператор (I—Т)очевидно, линеен. Однако для наших целей весьма важно знать условия, при выполнении которых обратный оператор ( I –Т) кроме того и непрерывен. Для этого необходимо, чтобы множество значений оператора ( I —Т) совпадало со всем пространством H. Но самое замечательное при этом заключается в том, что для замкнутых операторов это условие оказывается и достаточным, и этим в значительной степени объясняется наш интерес к замкнутым операторам.

Теорема 2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор и число не принадлежит его точечному спектру. Пусть, далее, множество значений оператора (I— Т) совпадает со всем пространством Н. Тогда оператор (I—T)^-1 ограничен, т. е. для любого элемента х из Н и некоторого числа М (зависящего от ) справедлива оценка

(2.1).

Доказательство. Оператор ( I —T) замкнут и его область определения есть все пространство Н. Следовательно, по теореме о замкнутом графике он должен быть непрерывным.

Определение2.2 Множество комплексных чисел , не являющихся собственными значениями оператора Т, таких, что множество значений оператора I — Т совпадает со всем пространством Н, называется резольвентным множествомоператора Т и обозначается через p (Т). Для р(T) оператор ( I — Т)-¹ обозначается через R ( , T ) и называется резольвентой Т.Дополнение резольвентного множества называют спектромоператора. Таким образом, точечный спектр оператора является подмножеством его спектра [5].

Пример 2.1. Пусть H = L ₂ (0, 1),aD — класс функций, производные которых тоже принадлежат L₂ (0, 1). Для функций fDположим Tf = . Тогда оператор Т замкнут и его область определения плотна. Рассмотрим его резольвентное множество. Уравнение f — = 0 означает, что f ( t )= f (0) e и e L₂ (0, 1). Таким образом, все числа принадлежат спектру оператора T, и потому его резольвентное множество пусто. Этого, однако, не может быть для ограниченных операторов.

2.2 Понятие об ограниченном операторе

Теорема 2.2 Пусть Т — ограниченный оператор, отображающий пространство Н в себя. Тогда р(T), если ||>r, где r = lim. Число г>0 называется спектральным радиусом оператора Т [5]