Реферат: Спектральная теория операторов

Лемма 3.1 Для любого 0 множество значений оперaтора I – Т замкнуто [10].

Доказательство. Пусть {у_п } — сходящаяся последовательность из множества значений оператора ( I — T ), т. е. y_n =х _n – Тх_п . Положим

М = {х: х=Тх}.

Тогда М – замкнутое подпространство Н. Обозначим через Р оператор проектирования на подпространство М и положим z_n =х_п –Рх_п . Предположим, что ||z_n ||. Пусть

, (3.1).

В силу сходимости {у_п } последовательность h_n сходится к нулю. Так как ||||=1, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что {} слабо сходится к элементу . Однако ввиду равенства ТР =Р справедливо соотношение

_n = ( h_n + T_n )/ (3.2).

Отсюда, в силу сильной сходимости T_n к T_n следует, что последовательность { _n } сильно сходится к . Далее, = T и |||| = 1. Однако это невозможно, поскольку элементы _n при­надлежат M . Таким образом, последовательность {||z_n ||} огра­ничена. Поэтому, переходя к подпоследовательности, можно считать, что { z_n } – слабо сходящаяся последовательность. Из равенства z_n = ( y_n + Tz_n )/ как и ранее, следует, что последо­вательность { z_n } сходится сильно. Обозначая через z соответ­ствующий предел, получим, что z = Tz + у, где у — предел последовательности {у_п }. Лемма доказана.

Лемма 3.2 Предположим, что 0 и множество зна­чений оператора ( I –Т) совпадает со всем пространством Н. Тогда принадлежит резольвентному множеству оператора Т [10].

Доказательство. Достаточно показать, что не являет­ся собственным значением оператора Т. Предположим против­ное; тогда найдется элемент х 0 такой, что х=Тх. Так как множество значений оператора I –Т совпадает со всем про­странством, то существует элемент f ₁ из H такой, что f ₁ –Tf ₁ = x . Далее, по той же причине найдется элемент f ₂ такой, что f ₂ –Tf ₂ = f ₁ . По индукции строится последовательность { f_k } такая, что

f_k – Tf_k = f_k-1 (3.3)

f₁ – Tf₁ =x=f₀ (3.4)

Обозначим через E_k подпространство, порожденное элементами { f _{0 ,} ...,f_k }. Докажем, что dimE_k > dimE_k для всех k 1. Для этого достаточно показать, что элемент f_k не принадлежит пространству E_{k -1} . Предположим противное. Тогда

f_k = (3.5)

Следовательно,

Tf_k = a_i Tf_i = a_i [ f_i –f_j-1 ] + a₀ f₀ (3.6).

С другой стороны, Tf_k = Xf_k — Tf_{k -1} . Таким образом,

f_k –f_{k -1} = – (3.7)

или

f_k –f_{k -1} = (3.8).

Следовательно, противоположное утверждение остается верным для ( k –1), и потому оно справедливо и для случая k = 1, что невозможно. Далее, если dimE_k > dimE_{k -1} , то существует ортонормированная последовательность векторов {е _k } такая, что e^k ортогонален подпространству E_{k -1} . Но [ I – T ] E_k E_{k -1} и потому [( I — Т)е_к , e_k ] = 0, т. е. = [ Te_k , e_k ]. Но последова­тельность { e_k } слабо сходится к нулю, поэтому последователь­ность { Te_k } сходится к нулю сильно. Следовательно = 0, что невозможно.

3.2 Собственное значение компактного оператора

Лемма 3.3 Предположим, что ненулевое комплексное число принадлежит спектру оператора Т . Тогда является собственным значением оператора Т*.

Доказательство. Применяя предыдущую лемму, полу­чим, что множество значений оператора ( I –Т) не совпадает со всем пространством. Так как множество значений оператора ( I –Т) замкнуто, то