Реферат: Спектральная теория операторов

l +2 Re ((1– λ)/ λ)=0 или Re (1/ λ)>

Таким образом, всякое комплексное число λ, удовлетворяю­щее этому условию, принадлежит точечному спектру. Так как спектр — замкнутое множество, то {λ; - + Re (1/ λ) ≥ } принадлежит ему. Это множество представляет собой шар ра­диуса 1 с центром в точке =1. Далее, рассмотрим уравнение f — Tf = g , или

tf(t)-f(s)ds = tg (t),

Предполагая дифференцируемость соответствующих функций,

получим

tf'(t) + f (t)–f(t) = tg' (t) + g(t).

Отсюда следует, что

(2.14)

где k — константа. Если ограничиться рассмотрением тех , для которых 1+2 Re(1-) / < 0, то, полагая k = 0, получим

(2.15)

Условие 1 + 2 Re ( l —) / > 0 эквивалентно условиям Re ( l /) < C < 1/2, или ² + ² —2> 0, где = + i . Можно показать, что последняя формула определяет резольвенту. Заметим, что такое при­надлежит спектру, но не является собственным значением. Без­условно, спектр целиком содержится в шаре ||| T ||=2.

Определение 2.4 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство в себя, называется неотрица­тельно определенным,если он самосопряжен и квадратичная форма [Тх, х] неотрицательно определена.

Для любого ограниченного линейного оператора операторы Т*Т и ТТ* неотрицательно определены [8].

2.3 Понятие о компактном операторе

Определение 2.5 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство Hв H₂ , называется компактным (вполне непрерывным) , если он переводит ограниченные множе­ства из Н в компактные подмножества H ₂ .

Важное характеристическое свойство компактных операто­ров определяется следующей теоремой [7].

Теорема 2.3 Пусть Т — компактный оператор, отобра­жающий пространство H в H ₂ . Тогда для любой слабо сходя­щейся последовательности {х_п } из Н последовательность {Тх_п } сильно сходится в H ₂ . Обратно, любой ограниченный линейный оператор, обладающий этим свойством, компактен [6].

Доказательство.Пусть оператор Т компактен, а {х_п } — слабо сходящаяся, скажем к х₀ , последовательность из Н. Тогда, согласно принципу равномерной ограниченности имеем оценку

<М

для некоторого числа М, О < М < . Поэтому последователь­ность {Тх_п } принадлежит некоторому компактному подмножеству в H₂ и, значит, из любой ее подпоследовательности можно извлечь еще более узкую сильно сходящуюся подпоследователь­ность. Обозначим такую сильно сходящуюся подпоследователь­ность через { Tx_nk }, аее предел через у. Тогда для любого h H ₂ имеем цепочку равенств

[ y , h ] = lim [ Tx_nk , h ] = lim [ x_nk , T * h ] =[х₀ , T * h ] = [Тх₀ , h ],

откуда у=Тх₀ , так что у не зависит от выбора конкретной под­последовательности, а значит,

limTx_n = у.

Обратно, пусть Т — ограниченный линейный оператор, пере­водящий любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Пусть В — ограниченное множество в Н. Пока­жем, что замыкание множества ТВ компактно. Действительно, пусть {х_п } — произвольная последовательность элементов из В. В силу свойства слабой компактности ограниченных множеств в гильбертовом пространстве найдется подпоследовательность { x_nk }, слабо сходящаяся к некоторому пределу, скажем к x. Тогда подпоследовательность { Tx_nk } сходится сильно и, как мы видели, ее пределом должна быть точка Тх₀ . Очевидно, что T х₀ — предельная точка множества ТВ, а это и значит, что опе­ратор компактен.

Пример 2.4 Пусть (_{, ,} ), (, , ) — пространства c-конечными мерами _, . Обозначим через R ( t , s ) измеримую матричную функцию порядка (р, q),определенную на множестве . Положим

.

Тогда оператор L, определенный соотношениями

Lf=g, g(t)=R(t, s) f (s)d , t Q₂ ,

линейнои непрерывно отображает пространство Н₁ = L(_{, ,} )^p в H₂ = L₂ (, , )^p . Заметим, что пространство Н не обязательно сепарабельно. Докажем компактность оператора L. Пусть последовательность f_n H ₁ слабо сходится. Для всех t, где —множество полной меры имеем

.

Пусть e_i — единичный вектор евклидова пространства R ^q . Тогда для любого t формула

[ R ( t , s ) f ( s ) d , е _i ]

определяет линейный непрерывный функционал на простран­ствеH ₁ . Следовательно, для каждого t последовательность

g_n ( t )= R ( t , s ) f_n ( s ) d

сходитсяк

g ( t ) = R ( t , s ) f ( s ) d .

Можно применить теорему Лебега о почленном интегри­ровании последовательности. Следовательно,

при n. Так как последовательность g_n (∙)сходится к g(∙) слабо, то отсюда следует сильная сходимость g_n к g.

3 Спектральная теория компактных операторов

3.1 Множество значений компактного оператора

Спектральная теория характеризует спектры и резольвент­ные множества операторов. Исследование интегральных опера­ндов по существу эквивалентно изучению интегральных урав­нений.