Реферат: Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів
- проаналізувати стійкість знайдених конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності.
Об’єктом дослідження являються стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
Предмет дослідження – вплив кількості точкових вихорів однакової інтенсивності на розташування та стійкість стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій та проведення аналогового експерименту.
Метод дослідження базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь, що описує рух точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині. В якості початкового наближення вибирається стаціонарна конфігурація вихорів порядку та стаціонарна точка потоку рідини. В стаціонарній точці рідини розміщується точковий вихор, інтенсивність якого, по мірі проведення ітерацій, поступово збільшується від нуля до інтенсивності решти вихорів. На кожному ітераційному кроці розв’язується нелінійна система алгебраїчних рівнянь порядку за допомогою чисельного методу Ньютона-Рафсона.
Аналіз стійкості знайдених конфігурацій проводився шляхом чисельного інтегрування (метод Рунге-Кутта 4 порядку) гамільтонової системи руху точкових вихорів.
Наукова новизна одержаних результатів. Спираючись на основні закономірності динаміки точкових вихорів на необмеженій площині та на основні властивості рівнянь руху в гамільтоновій формі, було отримано наступні нові наукові результати:
- представлено новий чисельно-аналітичний метод для пошуку рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності на необмеженій площині, який базується на аналізі стаціонарних точок поля швидкості в рівномірно-обертовій конфігурації системи з меншою кількістю вихорів;
- доповнено відомий, так званий, “Лос-Аламоський каталог” стійких вихрових конфігурацій (структури 83 , 91 та 101 в наведених позначеннях), які розміщені по концентричних колах при ;
- знайдено послідовність нових несиметричних рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності. Показано, що такі структури виникають у системах, починаючи з 5 точкових вихорів, а не 8 вихорів;
- показано, що загальна кількість несиметричних конфігурацій збільшується по мірі збільшення кількості точкових вихорів в системах, що розглядаються;
- проведено чисельний аналіз стійкості вихрових конфігурацій, дослідження показали, що більшість з симетричних конфігурацій являються стійкими, тоді як несиметричні конфігурації являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.
Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення досліджень визначається широким колом вказаних вище застосувань задачі, наявністю комплексу програм та алгоритмів, які досліджують явище, а також великою кількістю отриманих чисельних результатів. Матеріали дисертації використовуються в спеціальному курсі „Динаміка концентрованих вихорів”, що читається на механіко-математичному факультеті КНУ імені Тараса Шевченка.
Апробація результатів роботи. Основні результати по темі дисертації доповідались та обговорювались на наступних конференціях:
IV Міжнародна конференція “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м.Донецьк, червень 2006);
Міжнародна конференція “Dynamical system modeling and stability investigation (DSMSI)” (м.Київ, травень 2007);
Міжнародна конференція “Euler Equations: 250 Years On (EE 250)” (France, Aussois, June 2007);
Міжнародна науково-технічна конференція пам’яті акад. В.І. Моссаковського (1919-2006) “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (м.Дніпропетровськ, жовтень 2007).
У повному обсязі робота доповідалась на:
семінарі “Сучасні проблеми механіки” Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом член.-кор. НАН України Улітка А.Ф. та проф. Мелешка В.В. (м. Київ, грудень 2007);
Республіканському семінарі при Інституті гідромеханіки НАН України під керівництвом академіка НАН України Грінченка В.Т. (м.Київ, січень 2008).
Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 7 працях, з них 3 опубліковані у рецензованих наукових журналах із переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми [1,2,3] та 4 тез доповідей наукових конференцій [4,5,6,7].
Всі результати роботи отримані автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві, теоретичні дослідження та чисельні розрахунки виконані здобувачем. Постановка задач належить науковому керівнику Мелешко В.В. та Х. Арефу – співавтору по роботі [3]. Обговорення отриманих результатів виконані спільно з усіма співавторами.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел. Викладена на 127 сторінках, із них 102 сторінки основного тексту, 20 рисунків, 6 таблиць, бібліографічні посилання складено з 148 джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі шляхом критичного аналізу та порівняння з відомими розв’язаннями наведеної задачі подано інформацію про актуальність досліджень, сформульовано мету та наукову новизну роботи, представлено питання, що виносяться на захист, а також практичне значення одержаних результатів.
У першому розділі представлено узагальнений огляд літератури по темі дисертації, проаналізовано процес виникнення основних напрямків досліджень у даній області. Зазначені невирішені проблеми, аналіз яких дозволив сформулювати основні завдання дисертації.
Відзначено великий внесок у дослідження в області вихрової динаміки робіт таких науковців: Г.Гельмгольц, фундаментальна стаття якого поклали початок теорії вихорів (1858), Е.Г. Борд, А.В. Борисов, Н.С. Васильєв, Д.Н. Горячев, В.Ф. Козлов, Л.Г. Куракін, В.В. Мелешко, Е.А. Новіков, М.А. Соколовський, Л.Г. Хазін, В.І. Юдович, H. Aref, S. Boatto, L.J. Campbell, D. Crowdy, D. Dritschel, W. Grebli, T.H. Havelock, H. Kirchhoff, J.Marshall, P.K. Newton, K.O`Neil, H. Poincare, P.G. Saffman, M.M. Sano, G.J.F.van Heijst, J.J. Thomson, W. Thomson, H. Villat та багатьох інших.
У другому розділі визначено основні поняття теорії вихрових рухів на необмеженій площині, виписано загальні рівняння, що описують рух систем точкових вихорів інтенсивності на необмеженій площині в ідеальній нев’язкій рідині. Вихорі розміщені на комплексній площині та мають координати, при відсутності зовнішнього потенціального потоку рівняння руху точкових вихорів на необмежені рідині.
Виписано перші інтеграли рівнянь руху систем точкових вихорів, що пов’язані безпосередньо з незалежністю функцій від часу та її інваріантністю відносно паралельного переносу та повороту координат: