Реферат: Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів
Аналіз системи рівнянь та її розв’язків показує, що нова конфігурація вихорів визначається, в першу чергу, початковим наближенням (конфігурацією точкових вихорів) та вибором точки, в якій розміщується додатковий вихор змінної інтенсивності. Дослідження показали, що стаціонарних точок в рідині може бути декілька, однак не кожна з них може привести до нової конфігурації точкових вихорів. Слід відмітити, що при розв’язанні системи нелінійних рівнянь точковий вихор, спочатку розміщений в різні стаціонарні точки потоку рідини, може потрапляти в одні й ті самі рівномірно-обертові конфігурації систем точкових вихорів.
При чисельній реалізації методу інтенсивність вихору збільшувалась дискретно на кожному кроці розв’язання задачі. При розв’язанні системи рівнянь застосовувався метод Ньютона-Рафсона.
В результаті досліджень сформовано доповнений аналог (фрагмент при), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 83 , 91 та 101. В роботі класифіковано отримані вихрові структури на правильні, полігональні та розміщені по концентричних колах, а також проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі.
Метод знаходження рівномірно-обертових вихрових конфігурацій дозволив також знайти несиметричні вихрові структури, які виникають. Їх кількість збільшується зі збільшенням кількості вихорів (при та по одній конфігурації, при по три конфігурації, при - сім конфігурацій та при - дев’ять конфігурацій). Побудовано каталог несиметричних конфігурацій. Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими. Також в роботі побудовано лінії току всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності.
Таблиця 1. Значення інваріантів руху симетричних конфігурацій
№ | Конфігурація | H1 | I1 | P1 | Q1 | H2 | I2 | P2 | Q2 |
1 | 31 | -0,131598 | 2,999912 | 0 | 0 | -0,12812 | 2,91456 | 0 | 0 |
2 | 41 | -0,318666 | 6,0025 | 0 | 0 | -0,31376 | 5,88125 | 0 | 0 |
3 | 51 | -0,598126 | 10,0004 | 0 | 0 | -0,59516 | 9,92763 | 0 | 0 |
4 | 52 | -0,587235 | 9,99824 | 0 | 0 | -0,58089 | 9,84139 | 0 | 0 |
5 | 61 | -0,978449 | 15,0088 | 0 | 0 | -0,97531 | 14,9318 | 0 | 0 |
6 | 62 | -0,979375 | 15,0005 | 0 | 0 | -0,97286 | 14,839 | 0 | 0 |
7 | 71 | -1,47966 | 20,9971 | 0 | 0 | -1,47326 | 20,8384 | 0 | 0 |
8 | 81 | -2,09398 | 28,0026 | 0 | 0 | -2,08775 | 27,848 | 0 | 0 |
9 | 82 | -2,08098 | 27,9975 | 0 | 0 | -2,07392 | 27,822 | 0 | 0 |
10 | 83 | -2,08257 | 28,0044 | 0 | 0 | -2,07392 | 27,7895 | 0 | 0 |
11 | 91 | -2,82632 | 35,9983 | 0 | 0 | -2,82035 | 35,8501 | 0 | 0 |
12 | 92 | -2,8233 | 35,9958 | 0 | 0 | -2,81691 | 35,8191 | 0 | 0 |
13 | 101 | -3,6893 | 45,0015 | 0 | 0 | -3,68155 | 44,8086 | 0 | 0 |
У п’ятому розділі побудовано траєкторії руху всіх отриманих конфігурацій точкових вихорів без збурень та з малими збуреннями початкових координат. Інтегрування проводилось за допомогою методу Рунге-Кутта 4 порядку.
Проведено чисельний аналіз стійкості всіх знайдених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів Для цього в початкове положення вихорів вносилось мале збурення, таке, що не змінювало положення центру завихрення та мінімально змінювало енергетичні параметри системи точкових вихорів. В таблиці 1 наведено значення інваріантів руху симетричних систем точкових вихорів, що представлені на рис.4; - інваріанти незбурених систем вихорів, - інваріанти збурених систем при значенні збурення початкових координат . Аналогічно в табл.2 представлено значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій вихорів (рис.5 та рис.6) при збуренні початкових координат .
Аналіз траєкторій руху показав, що симетричні конфігурації вихорів, представлені в роботі (рис.4), являються стійкими відносно малих збурень початкових
Таблиця 2. Значення інваріантів руху несиметричних конфігурацій
№ | Конфігурація | H1 | I1 | P1 | Q1 | H2 | I2 | P2 | Q2 |
1 | 51 | -0,586692 | 10 | 0 | 0 | -0,58663 | 9,99845 | 0 | 0 |
2 | 61 | -0,974332 | 15 | 0 | 0 | -0,97426 | 14,9983 | 0 | 0 |
3 | 71 | -1,4651 | 21 | 0 | 0 | -1,46503 | 20,9982 | 0 | 0 |
4 | 72 | -1,4441 | 21 | 0 | 0 | -1,44403 | 20,9983 | 0 | 0 |
5 | 73 | -1,42046 | 21 | 0 | 0 | -1,4204 | 20,9985 | 0 | 0 |
6 | 81 | -2,07041 | 28 | 0 | 0 | -2,07034 | 27,9984 | 0 | 0 |
7 | 82 | -2,05269 | 28 | 0 | 0 | -2,05263 | 27,9985 | 0 | 0 |
8 | 83 | -2,05647 | 28 | 0 | 0 | -2,05638 | 27,998 | 0 | 0 |
9 | 91 | -2,82233 | 36 | 0 | 0 | -2,82225 | 35,9982 | 0 | 0 |
10 | 92 | -2,78345 | 36 | 0 | 0 | -2,78339 | 35,9987 | 0 | 0 |
11 | 93 | -2,80028 | 36 | 0 | 0 | -2,8002 | 35,9979 | 0 | 0 |
12 | 94 | -2,78741 | 36 | 0 | 0 | -2,78733 | 35,9981 | 0 | 0 |
13 | 95 | -2,79871 | 36 | 0 | 0 | -2,79862 | 35,9977 | 0 | 0 |
14 | 96 | -2,75592 | 36 | 0 | 0 | -2,75585 | 35,9982 | 0 | 0 |
15 | 97 | -2,80823 | 36 | 0 | 0 | -2,80816 | 35,9983 | 0 | 0 |
16 | 98 | -2,78123 | 36 | 0 | 0 | -2,78117 | 35,9984 | 0 | 0 |
17 | 101 | -3,67984 | 45 | 0 | 0 | -3,67975 | 44,9977 | 0 | 0 |
18 | 102 | -3,65191 | 45 | 0 | 0 | -3,65185 | 44,9985 | 0 | 0 |
19 | 103 | -3,64413 | 45 | 0 | 0 | -3,64407 | 44,9984 | 0 | 0 |
20 | 104 | -3,65781 | 45 | 0 | 0 | -3,65776 | 44,9987 | 0 | 0 |
21 | 105 | -3,65231 | 45 | 0 | 0 | -3,65223 | 44,998 | 0 | 0 |
22 | 106 | -3,67236 | 45 | 0 | 0 | -3,67229 | 44,9982 | 0 | 0 |
23 | 107 | -3,6799 | 45 | 0 | 0 | -3,67983 | 44,9983 | 0 | 0 |
24 | 108 | -3,67847 | 45 | 0 | 0 | -3,67842 | 44,9987 | 0 | 0 |
25 | 109 | -3,68155 | 45 | 0 | 0 | -3,68147 | 44,9982 | 0 | 0 |
При цьому встановлено, що включена в, так званий, „Лос-Аламоський каталог” конфігурація 10 вихорів (випадок 3+7) являється нестійкою. І, навпаки, аналогічна конфігурація 10 вихорів (випадок 2+8) виявляється стійкою відносно малих збурень початкових координат.
Всі несиметричні конфігурації, отримані в роботі (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат. Починаючи з другого періоду обертання, траєкторії руху незбурених систем вихорів відхиляються більше ніж на 1 порядок по відношенню до траєкторій руху вихорів без збурення початкових координат , тобто вихорі починають рухатись неперіодичним чином.
ВИСНОВКИ
Основні результати дисертаційної роботи сформульовано у такий спосіб:
1) Представлено новий чисельно – аналітичний метод знаходження рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нев’язкій рідині на необмеженій площині. Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів, де в якості початкового наближення вибрано стаціонарну конфігурацію порядку та стаціонарну точку потоку рідини в системі координат, що обертається з постійною кутовою швидкістю, рівною кутовій швидкості обертання вихрової системи порядку. Представлений метод дозволяє визначити як стійкі, так і нестійкі конфігурації рівномірно-обертових систем однакових точкових вихорів.
2) Сформовано доповнений аналог (фрагмент при ), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 83 , 91 та 101. В роботі класифіковано отримані вихрові структури та проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі. Суттєвою відмінністю від знайдених в літературі рівномірно-обертових конфігурацій вихорів являється наведення точних (до десятого порядку малості) початкових координат в декартовій системі координат як для симетричних, так і для несиметричних вихрових структур.
3) Знайдено ряд несиметричних вихрових структур. Побудовано каталог несиметричних конфігурацій при (рис.5 та рис.6). Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими.
4) Побудовано траєкторії руху отриманих рівномірно-обертових систем точкових вихорів без початкового збурення та з малим збуренням початкових координат.
5) Проведено чисельний аналіз стійкості всіх представлених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів. Показано, що всі симетричні конфігурації вихорів, представлені на рис.4, являються стійкими відносно малих збурень початкових координат. Всі несиметричні конфігурації (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.
6) Побудовані в роботі каталоги симетричних та несиметричних конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності відіграють важливу роль та дозволяють сформувати ряд нових задач вихрової статики. Зокрема, несиметричні вихрові структури являються досить цікавою та новою задачею, їх можна використовувати в якості початкового наближення при побудові нових розв’язків системи рівнянь руху точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Губа А.О., Гуржій О.А., Мелешко В.В. Рівномірно-обертові конфігурації точкових вихрів // Вісник Київського Університету. - Серія фіз.-мат. науки. - 2006. - Вип.1. - С.100-104.
2. Губа А.О. Про особливості одного алгоритму знаходження рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів // Вісник Київського Університету. – 2007. – Т.18. – С.103-106.
3. Ареф Х., Мелешко В.В., Губа А.А., Гуржий А.А. Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей // Прикладна гідромеханіка. – 2007. – Т.9, №2-3. – С.5-24.
4. Мелешко В.В., Губа А.А. Равномерно вращающиеся конфигурации точечных вихрей // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Зб. наук. пр. – Донецк: Юговосток, 2006. - С. 250-252.
5. Губа А.О. Дослідження стійкості розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь руху однакових точкових вихорів // Dynamical system modeling and stability investigation (DSMSI): Міжнар. конфер. КНУ імені Т.Шевченка, 22-25 травня 2007. – К., 2007. – С. 39.
6. Guba A. Stability of uniformly rotating configurations of point vortices // Euler Equations: 250 Years On (EE 250), - Aussois, France, June 18-23 2007. – Poster session. – http://www.oca.eu/etc7/EE250/abstracts/GUBA.pdf.
7. Guba A.O., Meleshko V.V. Stability of uniformly rotating configurations of point vortices // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: Міжнар. наук.-техн. конфер. пам’яті академіка НАН Україна В.І.Моссаковського (1919-2006), 17-19 жовтня 2007 р. – Дніпропетровськ, 2007. – С. 173-174.
АНОТАЦІЇ
Губа А.О. Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів. – Рукопис.